Тема1: Неопределенный интеграл |
Преподаватель:
Филипенко Николай Максимович
Доцент ОМИ ШБИП
Глава I. Понятие и свойства неопределенного интеграла.
§1. Первообразная и неопределенный л.
§2. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕРАЛОВ.
§3. Таблица основных интегралов.
Глава II. Общие методы интегрирования:
§1 Непосредственное интегрирование.
§2 Интегрирование подведением под знак дифференциала.
§3 Метод подстановки (замены переменной).
§4 Интегрирование по частям.
§5. Рекуррентные формулы.
Методы интегрирования
Различают следующие методы интегрирования: 1) Непосредственное интегрирование.
2) Интегрирование подведением под знак дифференциала.
3) Интегрирование по частям.
4) Метод подстановки (замены переменной).
Основные классы интегрируемых функций
1)интегралы, содержащие квадратный трехчлен
взнаменателе дроби,
2)интегралы от рациональных дробей,
3)интегралы от иррациональных функций,
4)интегралы от тригонометрических функций.
Метод интегрирования подведением под знак дифференциала, основанный на свойстве инвариантности формул интегрирования,
-это либо: 1. Внесение под знак дифференциала постоянного слагаемого |
||||||||
d(x a) = (x a) dx = dx |
|
dx |
= d(x 1) = d(x 3) = d(x |
1 |
) = d(x a). |
|||
|
|
или |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
д знаком дифференциала к переменной интегрирования можно прибавить |
||||||||
бое, нужное в данной ситуации, число |
|
|
||||||
1) (x 3)4 dx = |
(x 3) |
4 d(x 3) = |
(x 3)5 |
C, |
|
|
||
|
|
|
||||||
Примеры: |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
2) dx |
= d(x 3) = ln | x 3 | C. |
|
|
|||||
x 3 |
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
либо: 2. Внесение под знак дифференциала постоянного множителя: dx = C1 d(Cx).
При введении под знак дифференциала множителяC
знаком интеграла необходимо поставить поправочный коэффициент1 .
C
|
1 |
|
x |
|
5 |
|
|
4x |
|||
dx = |
|
d(3x) = d( x) = 2d |
|
|
= |
|
d |
|
|
|
|
3 |
2 |
4 |
5 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
либо: 3. Внесение под знак дифференциала функций |
|
dy y' dx |
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
2 |
1 |
|
|
3 |
|
dx |
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2d( x) |
|||||||||||||||
x dx = |
2 d(x |
|
) |
x |
|
dx = 3 d(x |
|
) |
x2 = |
d( x) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||
dx |
= d(ln x) |
|
|
exdx = d(ex ) |
|
|
|
cos x dx = |
d(sin x) |
sin x dx = d(cos x) |
||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||
|
dx |
|
= d(tg x) |
|
|
dx |
= d(arctg x) |
|
|
|
= d(arcsin x) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x2 |
|
|
|||||||||||||
|
cos2 x |
|
|
1 x2 |
|
|
||||||||||||||||||
ПОДВЕДЕНИЕ ПОД ЗНАК ДИФФЕРЕНЦИАЛА
Вычислить sin( x 3)dx .
Из таблицы sin xdx cos x C
Воспользуемся свойством инвариантности:
если f ( x)dx F( x) C , то f (u)du F (u) C .
Вспомним, что d( y( x)) y ( x)dx .
Тогда, учитывая, что получим:
d( x 3) ( x 3) dx dx
sin( x 3)dx sin( x 3)d( x 3) cos( x 3) C
Вывод: под знаком дифференциала можно добавить (отнять) любую константу – интеграл от этого не изменится.
1) ( x 2)5 dx ( x 2)5 d( x 2) |
1 |
|
|
|
||||||||
6 ( x 2)6 C |
dx |
d( x 1) |
|
|||||||||
2) 2 |
x 7 |
dx 2 |
x 7 |
|
|
1 |
|
x 7 |
3) |
x 1 |
x 1 |
ln | x 1 | C |
|
|
d( x 7) ln 2 |
2 |
|
C |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вычислить |
cos(2x)dx |
.Мы знаем, что |
cos(2x)d(2x) sin(2x) C |
|||||||||
Можно ли свести один интеграл к другому?
Вычислим: |
|
, то есть |
dx 1 d(2x) |
. |
|
d(2x) (2x) dx 2dx |
2 |
||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
Таким образом получим: cos(2x)dx 2 |
cos(2x)d(2x) 2 sin(2x) C |
||||
Вывод: переменную интегрирования под знаком дифференциала можно умножить на константу, при этом весь интеграл на эту константу следует поделить.
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) sin(5 x)dx |
1 |
sin(5 x)d(5 x) 1 cos(5x) C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
dx |
1 |
|
d(3 x) |
1 |
|
|
3 x |
1 |
|
|
3 x |
|
|
||||||
3) 4 9 x2 |
|
4 (3 x)2 |
3 4 (3 x)2 |
|
|
arctg |
2 |
C 6 arctg 2 |
C |
||||||||||||||||
3 2 |
|||||||||||||||||||||||||
Объединим два предыдущих случая в один: |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
dx a d(ax b) |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) 4 5xdx |
|
5 (4 5x)1/ 2 d(4 5x) |
5 |
3 (4 |
5x)3 / 2 C |
|
|
(4 |
5x)3 C |
||||||||||||||||
15 |
|||||||||||||||||||||||||
2) dx |
1 |
d(3 2x) 1 ln | 3 2x | C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3 2x |
|
2 |
|
3 2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dx |
|
|
|
1 d(4 9x) |
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) (4 9 x)2 |
|
9 (4 9x)2 |
|
|
|
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
9 (4 9x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Рассмотрим примеры, связанные с подведением под знак дифференциала функций.
Вычислить
Но тогда
xdx
1 x2
xdx
1 x2
.Заметим, что d( x2 ) 2xdx |
, то есть |
xdx 1 d( x2 ) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
d( x2 ) 1 |
d( x2 1) |
1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
1 x2 2 |
1 x2 |
2 ln | 1 x |
|
| C |
||
В рассмотренном примере переменная от которой зависит |
|
x2 |
|||||||||||||||
интеграл это |
, а производная от нее (с точностьюxдо |
|
|
||||||||||||||
сомножителя) – это |
|
. Тогда, производную заносим под знак |
|
||||||||||||||
дифференциала в виде |
|
. |
|
|
|
|
|
x2 |
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Поправочный коэффициент можно найти, вычислив дифференциал от того |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
)dx |
выражения, которое Вы занесли под знак дифференциала, и сравнивx sin(2 4x |
|
||||||||||||||||
получившееся выражение с исходным. Например,x |
вычислить |
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
4x |
3 |
|
|
|
d(2 4 x ) 12 x |
2 |
dx |
|
|
|
|
||||
Замечаем, что с точностью до множителя есть3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
производная от |
2 |
, причем |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||
|
x2 |
4x3 |
под знак дифференциала: 1 |
|
|
|
|
||||||||||
Заносим |
в виде |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
x2 sin(2 4 x3 )dx |
|
sin(2 4x3 )d(2 4x3 ) |
|
cos(2 4x3 ) C |
|
|
|||||||||||
12 |
12 |
|
|
||||||||||||||
ПОДВЕДЕНИЕ ПОД ЗНАК ДИФФЕРЕНЦИАЛА
1) cos x |
|
|
dx d(sin x) |
|
1 |
d(2 3sin x) |
1 ln | 2 3sin x | C |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 3sin x |
|
|
|
2 3sin x |
3 |
2 3sin x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
d( |
|
3 sin x) |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
3 sin x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
x |
dx |
3 |
|
|
|
|
3 sin x) |
2 |
|
3 |
2 |
|
arctg |
2 |
|
|
C |
||||||||||||||||||
|
2 3sin |
|
|
|
|
|
2 ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3)ln2 xxdx ln2 xd(ln x) 13 ln3 x C
4)e
xx dx 2 e
x d(
x ) 2e
x C
5) |
e xdx |
|
|
d(e x ) |
|
|
|
arcsin(e x ) C |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
e |
2 x |
1 |
x |
) |
2 |
|||||
|
|
|
|
(e |
|
|
|
||||