§3. Метод подстановки. Замена переменной
Метод подстановки или метод замены переменной является одним
из самых сильных методов интегрирования. Метод основан на использовании формулы (I)
f (x) dx = f (t) t' (t) dt,
которую называют формулой подстановки или замены переменной.
При проведении замены переменной в интеграле пользуются следующей схемой .
1)выбирается подстановка (или делается замена)
2)преобразовывается подынтегральная функция
x = (t)
f (x) f [ (t)]
3) Находится дифференциал |
dx = t' (t)dt |
|
|
4) Полученные выражения подставляются в исходный интеграл |
|
||
и решается интеграл относительно переменной |
t |
x |
|
5) После получения ответа необходимо вернуться к переменной |
|||
одстановка должна приводить к более простому интегралу, чем исходный
(II). Вместо подстановки x = (t) часто
делается замена t = (x) , если подынтегральное выражение можно представить в виде.
f (x) dx = g (x) x' (x) dx g(t)dt,
Метод замены переменной
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
xdx |
|
|
|
|
2t dt |
|
|
|
|
t2 2 |
|
|
t dt |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x |
t |
2 2 |
dx |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|||||||||
2 x2 |
t2 2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
t2 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dt t C 
2 x2 C
sin(1/ x) |
|
|
1 |
1 |
dt |
|
sin(t) t |
2 dt |
|
|
|
|
|||||||
2) x2 |
dx |
|
t x |
x t |
dx t2 |
|
t2 |
|
sin(t)dt cos(t) C cos(1/ x) C
§4. Метод интегрирования по частям
основе метода интегрирования по частям лежит формула--схема
|
U dV = UV V dU. |
|
|
|
|
Подынтегральное выражение разбивается на произведение |
||
двух сомножителей |
U и |
dV при этом руководствуются |
следующим правилом |
|
|
. Если в подынтегральное выражение входит произведение |
|
ногочлена на показательную или тригонометрическую функцию, |
|
о в качестве функции |
U берется многочлен. |
2. За U всегда берутся логарифмическая и обратные
тригонометрические функции
Затем находим дифференциал dU U ' dx
и функцию V dV .Подставляем все в формулу и решаем интеграл V ,dUкоторый должен быть проще исходного.
Метод интегрирования по частям
udv u v vdu
1) Разбить на u и dv
2) Найти |
du u dx |
и |
|
|
|
|
v dv |
|
|
|
3) Подставить
1) (2x 7)cos(3x)dx |
|
u 2x 7 du 2dx |
1 |
|
|
|||
|
|
|||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
dv cos(3x)dx v cos(3x)dx 3 sin(3x) |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
3 |
(2x 7)sin(3x) |
3 |
sin(3x)dx 3 (2x 7)sin(3x) |
9 cos(3x) C |
|
|
||
Примеры интегралов, берущихся по частям, и разбиения подынтегрального выражения на сомножители
|
|
|
|
1) (x 2)sin 3xdx |
|
|
|
|
4) ln xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
u = x 2 |
du = dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = ln x |
|
du = dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
dv = sin 3x dx v = |
3 cos3x |
|
|
|
|
|
dv = dx |
vx= x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
2) (5x |
1)e x/2 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
ln(x2 |
5)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
u = 5x 1 |
du = 5dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u = ln(x2 5) |
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
dv = e x/2 dx |
v = 2e x/2 |
|
|
|
|
du = |
|
|
|
dx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
|
5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
3) x2 cos |
x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv = dx |
|
|
|
v = x |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) arcsin x dx |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
u = x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
du = 2xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
u = arcsin x du = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
dv = cos |
x |
dx |
v = 3sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv = dx |
|
|
v =1x x2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = arctg x |
du = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
7) x arctg x dx |
|
|
|
1 x2 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv = xdx |
|
|
|
|
v = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. (2x 3)cos5x dx= |
|
|
u=2x 3 |
|
|
du=2 dx |
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dv= cos5x dx v= cos5x dx= 5 cos5x d (5x)=5 sin 5x |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
= (2x 3) 1 sin 5x |
|
2 |
sin 5x dx = |
2x 3 sin 5x |
|
2 |
|
cos5x c. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
5 |
25 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2. x e x dx = |
|
u = x |
|
|
|
|
|
du = dx |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
dv = e x |
dx v = e x dx = e x d( x) = |
e x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x e x |
e x dx = x e x e x |
d( x)= x e x e x c. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
U = ln x |
|
|
|
|
dU = dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1/3 |
|
|
|
|
1/3 |
|
||||||
3. |
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
= 3 x |
ln x 3 |
x |
|
|
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
3 x2 |
|
|
dV = |
|
|
|
|
V = (x) 2/3 dx = 3 x1/3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= 3 x1/3 ln x 3 (x) 2/3 dx = 3 x1/3 ln x 9x1/3 dx = 33
x (ln x 3) C.
4. arcsin 5x dx= |
|
U = arcsin 5x dU = |
|
5 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 x dx |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 25x2 |
|
|
=x arcsin 5x |
|
|
|
= |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
dV = dx |
V = dx = x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 25x2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5 d(1 25x2 |
) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
= x arcsin 5x |
= x arcsin 5x |
|
|
|
1 25x2 |
C |
|
|
|||||||||||||||
50 |
|
25 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 25x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. arctg 2x dx = |
|
u = arctg 2x du = |
|
2dx |
|||
|
|
||||||
1 4x |
2 |
||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
dv = dx |
v = x |
|
|||
= x arctg 2x d(x2 ) = 1 4x2
= x arctg 2x 2x dx = 1 4x2
|
1 |
d(4x2 1) |
|
1 |
2 |
|
x arctg 2x |
4 |
1 4x2 |
= x arctg 2x |
4 ln(1 4x |
|
) c. |
§5. Рекуррентные формулы.
|
|
dx |
|
u |
|
|
|
1 |
|
|
; du |
|
2nxdx |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
(x |
2 |
|
2 |
) |
n |
(x |
2 |
2 |
) |
n 1 |
|
|
|||
Jn |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|||||
(x2 a2 )n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
dv dx; |
v x; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
§6. Интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе дроби
Рассмотрим интегралы вида ( Ax2 |
B) dx |
, |
|
( Ax B) dx |
. |
||
bx c |
|||||||
|
|
||||||
ax |
|
|
|
ax2 bx c |
|||
Интегрирование проводится по следующей схеме: 1) в квадратном трехчлене выделяется полный
квадрат
ax2 bx c = a(x b/2a)2 c (b/2a)2;
2) вводится новая переменнаяt x b/2a; 3)полученный интеграл, при необходимости,
разбивается на два интеграла, один из которых -- всегда табличный, а другой приводится к табличному подведением под знак дифференциала;
4) возвращаются к старой переменной.
|
dx |
|
|
x2 4x 10=(x2 2 x2 4) 4 10=(x 2)2 6 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1. 2 |
|
= |
x 2 = t; x = t 2; dx = dt |
|
|
= |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
x 4x 10 |
|
x2 4x 10 = t2 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
= |
2dt |
|
= |
1 |
|
arctg |
t |
|
= |
1 |
|
arctg |
x |
2 |
C. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
6 |
6 |
|
|
|||||||||||||||||
|
t |
6 |
|
|
|
6 |
6 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2x x2 = 3 (x2 2x) = |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
= 3 [(x2 2 x 1 1) 1] = |
|
|
|||
2. |
|
|
|
|
|
= |
|
|
= 3 [(x 1)2 1] = 4 (x 1)2 , |
= |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 2x |
x2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x 1 = t; x = t 1; dx = dt |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2x x2 = 4 t2 |
|
|
|
||
|
|
|
= |
|
dt |
|
|
|
|
= arcsin |
t |
= arcsin |
(x 1) |
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
|
4 t2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||