Тема1: Неопределенный интеграл |
Преподаватель:
Филипенко Николай Максимович
Доцент ОМИ ШБИП
Рейтинг - лист
по курсу «Математика 2.1» для студентов 1 курса ИШНБК ТПУ Весенний семестр 2022/2023 уч. года
№ |
Темы |
Трудоёмкость в |
Промежуточный контроль |
Рейтинг |
Рейтинг |
|
|
часах |
промежуто |
темы |
|
|
|
Ауд / сам |
работы студента |
чного |
(баллы) |
1 |
Неопределенный интеграл |
|
ИДЗ-9 |
контроля |
|
20/28 |
5 |
|
|||
|
|
|
1.контрольная работа |
10 |
15 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
Определенный интеграл |
10/12 |
ИДЗ-10 |
2 |
12 |
|
|
|
2.контрольная работа |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
Дифференциальное |
|
ИДЗ-8 |
2 |
14 |
|
исчисление функций нескольких |
16/22 |
|
|
|
4 |
переменных |
|
|
|
|
Кратные интегралы |
22/16 |
ИДЗ-11 |
2 |
|
|
5 |
|
|
3. контрольная работа |
10 |
|
Элементы векторного анализа |
24/22 |
ИДЗ-12,13 |
4 |
9 |
|
|
|
4. контрольная работа |
5 |
||
|
|
|
|
||
|
|
|
Всего |
|
50 |
|
|
Независимый контроль ЦОКО |
|
20 |
|
|
|
|
Экзамен |
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОЦЕНКИ |
|
|
|
|
«Отлично» |
A |
|
90 - 100 баллов |
|
|
«Хорошо» |
В |
|
80 – |
89 баллов |
|
C |
|
70 – 79 баллов |
||
|
|
|
|||
|
«Удовл.» |
D |
|
65 – 69 баллов |
|
|
E |
|
55 – 64 баллов |
||
|
|
|
|||
|
Неудовлетворительно |
F |
|
0 - 54 баллов |
|
ИДЗ |
http://web.tpu.ru/webcenter/portal/ |
omi/umr?_adf.ctrl- |
state=8h9iakys_21 |
Сайт |
https://portal.tpu.ru/SHARED/f/FNM |
https://stud.lms.tpu.ru/grade/ |
report/grader/index.php? |
id=2285 |
Литература.
А. Учебники – основные
1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление (в 2-х томах) 2.Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. 3.Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа (в 2-х томах).- 4. Задорожный В.Н., Зальмеж В.Ф., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Высшая
математика для технических университетов. Интегральное исчисление: Учебное пособие.- Томск: Изд. ТПУ, 2011.
А. Учебники - дополнительные 1.Терехина Л.И., Фикс И.И. Высшая математика . Часть 2,3,4 — Томск, Изд. ТПУ, 2000, 2001, 2002,…. гг.
Б. Задачники - основные 1.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.
2. Задачи и упражнения по математическому анализу (Под ред. Демидовича Б.П.). Б. Задачники- дополнительные 3.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.
4.Запорожец Г.Н. Руководство к решению задач по математическому анализу. 5. Сборник задач по курсу высшей математики( под ред. Г.Н. Кручковича ).
Тема1: Неопределенный интеграл |
|
|
||
Глава I. Понятие и свойства |
|
|
||
неопределенного интеграла. |
л |
|
||
§1. Первообразная и неопределенный |
|
. |
||
еопределенное интегрирование есть операция обратная |
|
|||
ифференцированию и состоит в нахождению функции по известно |
||||
е производной. |
|
|
|
|
риведем понятия первообразной и неопределенного интеграла. |
||||
О п р е д е л е н и е. F(x) |
|
|
||
Функция |
|
|
|
|
ывается первообразной по отношению к функцииf (x) |
|
|
||
в данном интервале, если во всех точках интервала верно равенство |
||||
|
или |
dF(x) = f (x)dx. |
|
|
F (x) = f (x). |
|
|
||
Т е о р е м а (о первообразных). |
Все первообразные для данной |
|||
функции отличаются на постоянное слагаемое. |
|
|
||
Это значит, что если F(xесть) |
какая-либо первообразная для функции |
|||
f (x)
,то все бесконечное множество ее первообразных можно записать одним выражением F(x) C.
О п р е д е л е н и е. Неопределенным интегралом от данной функции называется совокупность всех ее первообразных.
Неопределенный интеграл обозначается символомf (x) dx
где символ интеграла, x переменная интегрирования. f (x) dx подынтегральное выражение,
f (x) подынтегральная функция,
Таким образом, еслиF(xкакая) -либо первообразная для функции
f (x) , то |
|
f (x) dx = F(x) C, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
роверить правильность результата интегрирования можно путем |
||||||
ифференцирования. Производная от первообразной должна равняться |
||||||
одынтегральной функции |
(x3 C)'= 3x2 . |
|
|
|||
Например: 3x2 dx = x3 C, так как |
|
|
||||
|
dx |
|
1 |
|
||
|
x 3 |
= ln | x 3 | C, так как (ln | x 3 | C)'= |
|
. |
||
|
x 3 |
|||||
В теме «Неопределенный интеграл» Вам понадобятся таблицы интегралов, подведения под знак дифференциала, а также
другие таблицы. Можно напечатать эти таблицы для того, чтобы они были постоянно под рукой.
Наиболее часто встречающиеся интегралы нужно запомнить. Главное понять, что интегрирование – это действие обратное дифференцированию. Под знаком интеграла стоит производная или дифференциал какой-то функции. Эту функцию и надо найти.
§2. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕРАЛОВ.
С помощью свойств и таблиц интегралов можно «взять» |
ы от |
многих ф-ий и их комбинаций. |
|
Теорема существования (без д-ва): Если функция f(x) непрерывна на |
|
отрезке [a,b] или имеет конечное число разрывов 1-го рода, то для |
|
этой функции существует первообразная, а значит и |
|
|
|
|
л |
|
|
неопределенный |
|
л . |
|
|
|
Так как неопределенный |
|
по определению функция: |
|||
f ( x)dx F( x) C , то его можно дифференцировать. Отсюда |
|||||
вытекают следующие свойства: |
|
|
|||
1. Дифференцирование интеграла: |
|||||
Производная неопределенного интеграла по переменной |
|||||
интегрирования равна подынтегральной функции |
|||||
f (x) dx ' |
= f (x) |
|
|||
|
|
x |
|
|
|
2. Символы неопределенного интегрирования и |
|||||
дифференциала, |
|
|
|
|
|
стоящие рядом, взаимно уничтожаются |
|||||
d f (x) dx |
= |
f (x) dx, |
|
d F(x) = F(x) C. |
|
|
|
|
|
|
|
3. Вынесение постоянного множителя: Постоянный множитель можно выносить за знак
интеграла
k f (x) dx = k f (x) dx.
4. Интеграл от алгебраической суммы функций равен гебраической
сумме интегралов от слагаемых
[ f (x) g(x)]dx = f (x) dx g(x) dx.
Свойство 1. является единственным критерием проверки правильности результата интегрирования
5. Инвариантность формы Форма результата интегрирования не зависит от того, что является
переменной интегрирования -- независимая переменная, или функция
U.(x)
Т.е., если f (x) dx = F(x) C, то f (U ) dU = F(U ) C.
|
|
|
|
|
xn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так, для интеграла |
xn dx= |
C запишем |
U ndU=U n 1 |
C |
||||||||||||
n 1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|||
|
3 |
x d (cos x) = |
cos4 x |
C, |
|
U cos x |
|
|||||||||
|
cos |
4 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(2x 5)16 |
|
|
|
|
|||||
Например: |
(2x 5) |
15 |
d (2x 5) = |
C, |
|
U (2x 15) |
|
|||||||||
|
|
|
16 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(ln x 3) |
1/2 |
d (ln x 3)= |
(ln x 3) |
3/2 |
|
U ln(x 3) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
C. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||