Тема1: Неопределенный интеграл

1) cos x

dx d(sin x)

1

d(2 3sin x)

1 ln | 2 3sin x | C

2 3sin x

2 3sin x

3

2 3sin x

3

cos x

1

d(

3 sin x)

1

1

3 sin x

2)

2

x

dx

3

3 sin x)

2

3

2

arctg

2

C

2 3sin

2 (

5)

e xdx

d(e x )

arcsin(e x ) C

1

e

2 x

1

x

)

2

(e

6)

xdx

1

d( x2 )

1

2

2 ln | x2 2 x4 | C

2 x4

2 x4

sin(1 / x)

dx sin(1 / x)d(1 / x) cos(1 / x) C

7)

x2

( x 1)dx

1 d( x2 2x 7)

1

2

8) x2 2 x 7

2

x2 2x 7

2 ln | x

2x 7 | C

9) cos3 xdx cos2

x cos xdx (1 sin2 x)d(sin x) C sin x

1

3 sin3 x C

10)

dx

1 d(arctg2x)

1

1

1

C

1

1

C

(1 4x2 )arctg

3 2x

2 arctg3 2x

2

2

2x

4 arctg2

2x

arctg2

dx

x2 4x 10=(x2 2 x2 4) 4 10=(x 2)2 6

1. 2

=

x 2 = t; x = t 2; dx = dt

=

x 4x 10

x2 4x 10 = t2 6

=

2dt

=

1

arctg

t

=

1

arctg

x

2

C.

6

6

t

6

6

6

3 2x x2 = 3 (x2 2x) =

dx

= 3 [(x2 2 x 1 1) 1] =

2.

=

= 3 [(x 1)2 1] = 4 (x 1)2 ,

=

3 2x

x2

x 1 = t; x = t 1; dx = dt

3 2x x2 = 4 t2

=

dt

= arcsin

t

= arcsin

(x 1)

C.

2

4 t2

2

P (x)

a xn a

n 1

xn 1 a

x2 a x a

R(x) =

n

=

n

2

1

0

.

Qm (x)

bm xm bm 1xm 1 b2 x2 b1x b0

1

3(2x 1) 13

=

3

13

.

2

2x 1

2

2(2x 1)

3

-- целая часть,

13

-- правильная дробь

2

2(2x 1)

x2 a2 = (x a)(x a),

x3 a3 = (x a)(x2 ax a2 ),

x3 a3 = (x a)(x2 ax a2 ),

x4 a4 = (x a)(x a)(x2 a2 ).

2.

dx

2

(x 2)

(x 4)

1

A

B

C

азложим подынтегральную

=

(x 4) 2 (x

2)

(x 4) 2

x 4

x 2

ункцию на простые слагаемые

Приводим к общему

1

=

A(x

2) B(x 4)(x

2) C(x 4)2

знаменателю

(x 4) 2 (x 2)

(x 4) 2 (x 2)

Приравниваем числители 1 = A(x

2) B(x 4)(x 2) C(x 4) 2

я нахождения неопределенных коэффициентов в это выражение

дставляем те значения

x, при которых знаменатель обращается в ноль

x 4 :

1 A( 6)

A 1/ 6

x 2 :

1 C(36)

C 1/ 36

нахождения третьего коэффициента можно взять любое значениеx

x 0 :

1 2A 8B 16C

1 1/ 3 8B 16 / 36

B 1/ 36

dx

=

1

dx

1

dx

1

dx

=

Теперь исходный интеграл

(x

4)2 (x

2)

6 (x 4)2

36 x 4

36 x 2

распишется на сумму трех

интегралов

1

1

1

ln | x 4 |

1

ln | x 2 | C

36

6

(x 4)

36