Приложения двойного интеграла
С помощью двойного интеграла можно вычислить площадь плоской фигуры.
S dS
( D)
dS
Здесь элемент площади, который можно записать как в декартовой, так и в полярной системе координат
Площадь фигуры в декартовой системе координат
S dS dx dy
( D) ( D)
Площадь фигуры в полярной системе координат
S dS d d
( D) ( D)
С помощью двойного интеграла можно вычислить массу пластинки, если известен закон изменения плотности
(x; y)
Масса пластинки в декартовой системе координат
M (x; y) dx dy
( D)
Масса пластинки в полярной системе координат
M ( ; ) d d
( D)
Задача. Найти площадь фигуры, заданной условиями
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(D) :{xy 2, |
x y 3}. |
|
|
|
|
|||||||||||||
1) Строим линии:xy 2, |
|
y |
2 |
|
|
гипербо |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y 3, |
y 3 x |
|
|
ла |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямая |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Находим точки пересечения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
3 x, |
x2 3x 2 0, |
x 1, x |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
к, фигура ограничена сверху прямой, а снизу |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
ерболой. Запишем формулу для вычисления |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
щади в декартовой системе координат и расставим пределы интегрирова |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
y2 ( x) |
|
2 |
|
|
3 x |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
S |
|
|
dS |
dx dy |
dx |
|
dy dx |
dy |
dx y |
32 x |
|
||||||||||||||||||||
|
|
( D) |
|
|
( D) |
|
|
a |
y1 ( x) |
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
x2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
4 1 2(ln 2 ln1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
3 |
x |
|
|
dx 3x |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
2 ln x |
1 3(2 1) |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
3 |
|
2 ln 2 1,5 1,38 0,12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача.
Вычислить массу пластинки (D) :{y 
3 x, y 
2ax x2 , y 0}. Плотность равна (x; y) y
1) Построим фигуру. |
Уравнение y = |
3 |
x есть уравнение |
|
прямой, а уравнение y = |
|
|||
2ax x2 |
преобразуем следующим образом |
|||
y = 
2ax x2 y2 = 2ax x2 x2 y2 = 2ax (x a)2 y2 = a2.
Мы имеем уравнение окружности с центром в точкеO (a; 0) и радиусом, равнымa.
Так как значения переменнойyпо условию задачи должны быть
положительными, то остается только верхняя часть круга.
Итак, область интегрирования ограничена прямой и окружностью и
находится в первой четверти
В данной ситуации имеет смысл перейти к полярным координатам.
2) Элемент площади ds = dxdy = d d .
3) Подынтегральная функция y = sin .
4) Уравнение границы области также записываем в полярной системе координат:
x2 y2 = 2ax 2 = 2a cos = 2acos .
y = 
3 x tg = 
3 = /3.
Запишем формулу для вычисления массы в полярных координатах
M ( ; ) d d
( D)
Переходим к повторному интегралу и расставляем пределы
|
2 |
2 ( ) |
|
M |
|
|
|
( ; ) d d |
d |
sin d |
|
( D) |
1 |
1 ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 до /3. |
|
Переменная внешнего интеграла изменяется в пределахот |
||||||||||||||||
Так как в данном примере полюс полярной системы |
|
|
|
|||||||||||||
координат - на границе области интегрирования, то переменная |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
(вход луча в |
||
внутреннего интеграла изменяется в пределах от1 |
|
|||||||||||||||
область) до |
|
2 |
= 2acos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
(линия выхода луча из области -- окружност |
|||||||||||||
5) Строим повторный интеграл |
|
|
|
|
|
|||||||||||
/3 |
|
2acos |
|
|
|
|
|
/3 |
2acos |
|
|
|
|
|||
M d |
sin d = |
sin d |
2 d = |
|
|
|||||||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
/3 |
|
|
3 |
|
2acos |
/3 |
|
8a3 cos3 |
|
8a3 /3 |
|
3 |
||||
= sin d |
|
|
|0 |
|
= sin |
|
|
d = |
|
sin cos d = |
||||||
3 |
|
|
3 |
3 |
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|||
= 8a3 |
/3 |
|
|
|
|
|
|
8a3 |
cos4 |
|0/3= |
2a3 1 (1/2)4 = 5a3 . |
|||||
|
cos3 d(cos ) = |
|||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
3 |
|
|
8 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Понятие тройного интеграла
Тройной интеграл является логическим продолжением понятия |
||||
двойного |
интеграла |
на случай функции трех независимых |
||
|
Пусть в |
области(V трехмерного) |
пространства |
|
переменных по областизамкнутойв пр странстве. |
|
|||
с выбранной прямоугольной системой координат определена |
||||
функция |
|
u = f (x, y, z) |
|
|
Повторим схему, аналогичную схеме построения двойного интеграла. |
||||
Разобьем область |
(V ) |
произвольной сеткой плоскостей на |
||
|
элементарные |
|
||
части v |
(i = 1,2, n) |
|
||
i |
|
и вычислим значения функции в произвольной точк |
||
каждой элементарной области и составим интегральную сумму
О п р е д е л е н и е. Интегральной суммой для функцииu = f (x, y, z)
называется сумма произведений значений функции в выбранных точках
на объемы соответствующихчастичных (элементарных) областей
in=1 f (xi , yi , zi ) vi.
О п р е д е л е н и е. Тройным интегралом от функцииu = f (x, y, z)
по области (Vназывается) предел полученной интегральной суммы при неограниченном увеличении числарзбиений области на части
и стремлении объемов всех элементарных участков к нулю
f (x, y, z) dv = limn in=1 f (xi , yi , zi ) vi.
(V )
Теорема существования тройного интеграла.
Если подынтегральная функцияf (x, y, z)является непрерывной, или кусочно - непрерывной в области(V ),то тройной интеграл всегда существует и равен определенному числу.
Геометрический смысл тройного интеграла.
Если функция f (x, y, z) 1во всех точках области(V ),то тройной интеграл
есть объем тела, занимающего область интегрирования.
dv = V.
(V )
Физический смысл тройного интеграла
Если тело, занимающее область(Vимеет) переменную объемную плотность(x, y, zто), тройной интеграл от плотности есть масса тела:
(x, y, z)dv=M .
(V )
Свойства тройного интеграла 1. Почленное интегрирование. Тройной интеграл от алгебраическо
суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых
2. Вынос постоянного множителя .
Постоянный множитель можно вынести за знак тройного интеграла.
3. Разбиение области интегрирования на части.
Если область интегрирования разбить на части, то тройной интеграл можно представить в виде суммы интегралов по отдельным частям
бласти.
Тройной интеграл в прямоугольных координатах
Для вычисления тройного интеграла от данной функции по данной области рекомендуется действовать по следующей схеме.