4) Строится ортогональная проекция области(V ) на плоскость XOY
-- область (D) |
|
и дальнейшие действия аналогичны тем, которые |
|
проводятся при переходе в двойном интеграле от |
|
декартовых координат к полярным. Уравнения линий, |
|
ограничивающих область, |
записываются в полярных |
координатах в виде = ( ). |
|
5) Определяются пределы изменения переменных и , после чего исходный интеграл записывается в виде повторного:
f (x, y, z)dxdy dz = |
2 |
2( ) |
z2 ( , ) |
|
d |
d |
f ( cos , sin , z)dz. |
||
(V ) |
1 |
|
1( ) |
z1( , ) |
6) По известной схеме осуществляется вычисление повторного интеграла В некоторых случаях, когда область(V )удобнее проектировать на
другие плоскости – XOZ или YOZ,следует использовать другие вариант совмещения цилиндрической и декартовой систем координат
x = cos ,
y = y,
z = sin .
x = x,
y = cos ,z = sin .
Отметим, что использование цилиндрических координат эффективно в тех случаях,ограниченакогда облпараболоидами,сть цилиндрами,
конусами и их сочетаниями с другими поверхностями.
Примеры преобразований уравнений поверхностей при переходе от декартовых координат к цилиндрическим.
1. Параболоид z = x2 y2
|
|
x = cos |
|
|
|
|
|
|
|
||
z = x2 y2 |
|
y = sin |
|
z = 2. |
|
z = z |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 |
= 2 |
|
|
2. Параболоид x2 y2 = 5 z |
|
|
|
|
||
x2 y2 = 5 z |
|
x = cos |
|
2 = 5 z |
|
z = 5 2. |
|
|
|
||||
|
y = sin |
|
|
|||
|
|
z = z |
|
|
|
|
дача 5. Перейти в тройном интеграле к цилиндрическим координа асставить пределы интегрирования по заданным областям
f (x, y, z)dx dy dz
(V )
1. (V ) :{x2 y2 z2 = 4, x2 y2 = 1, z 0} (внутри цилиндра) 1) Строим область интегрирования.
Проведем стрелку, параллельную оси OZ и пересекающую данное тело. Тогда Z=0 - поверхность входа, а z = 
4 x2 y2 - поверхность выхода.
Перейдем к цилиндрическим координатам
2) Проецируем эту область на плоскость XOY. Получим круг радиуса 1.
x = cos ,y = sin ,
z = z.
3) Запишем уравнения границ в цилиндрической системе координат
|
|
|
|
|
|
|
|
z = 0, x2 y2 z2 = 4 z |
2 |
= 4 2 . |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
||
|
и |
|
определяем по проекции |
||||
Пределы изменения переменных |
|
|
|||||
(в полярных координатах) 0 2 , |
|
0 1. |
|||||
4)Элемент объема dxdy dz = d d dz.
5)Записываем интеграл
f (x, y, z)dxdydz = |
2 |
2( ) |
z2( , ) |
|||
d |
d |
f ( cos , sin , z)dz = |
||||
(V ) |
1 |
|
1( ) |
z1( , ) |
||
|
2 |
|
1 |
|
4 2 |
|
|
= d d |
|
f ( cos , sin , z)dz. |
|||
|
|
|
|
|
||
0 |
0 |
0 |
Тройной интеграл в сферических координатах
Положение точки Mв сферической системе координат определяется тремя числами M ( , , )
=| OM | -- сферический радиус,
, -- сферические углы, изменяющиеся в пределах: 0 , 0 2 .
При соответствующем совмещении прямоугольной и сферической систем координат формулы перехода имеют вид
x = sin cos ,y = sin sin ,z = cos .
Переход и вычисление тройного интеграла в сферических
координатах можно проводить по следующей схеме.
1) Элемент объема записывается в сферических координатах
dV = dx dy dz 2 sin d d d
) Осуществляется переход к сферическим координатам в одынтегральной функции
f(x, y, z) = f ( sin cos , sin sin , cos ) = F( , , ).
3)Уравнения границ области интегрирования записываются в сферически координатах = 1( , ), = 2 ( , ).
4) Определяются пределы изменения переменных, и
(При этом удобно использовать стрелку, выходящую из начала координат и пересекающую область в пространстве).
) Тройной интеграл записывается в виде повторного, |
|||||
ричем в качестве внешних переменных интегрирования, |
|||||
ак правило, выступают сферические углы |
( , ) |
||||
|
2 |
2 |
2 |
||
f (x, y, z)dV = |
d |
|
sin d |
|
F( ; ; ) 2 d . |
|
|
|
|
||
(V ) |
1 |
1 |
1( , ) |
|
|
Приложения тройного интеграла
Задача. Вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностя
Объем тела, занимающего данную область(V ), можно вычислить с помощью тройного интеграла
V = dv.
(V )
ыражение для элемента объема зависит от того, в какой системе координа дет решаться задача.
1. (V ) : {2y z = 2, |
y z = 1, x2 = y}. |
Тело ограничено снизу и сверху плоскостямиy z = 1, 2y z = 2, а с боков -- параболическим цилиндромy = x2.
Проекцией тела на плоскостьXOYслужит параболический сегмент. Поэтому решаем задачу в декартовой системе координат.
По рисунку легко записать пределы изменения переменных.
|
|
y z 1, |
|
z = 1 y |
Переменнаяzизменяется от нижней плоскости |
|
|
||
до верхней 2y z 2, |
|
z = 2 2y. |
|
|
По проекции : для всех значений 1 x 1
переменная yизменяется в пределах от параболыy = x2 до прямой y = 1
Элемент объема в декартовой системе координатdv = dx dy dz.
Итак, объем данного тела
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
2 2 y |
|
|
|
|
|||
|
|
|
V = |
dx dy dz = |
dx |
dy |
|
dz = |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(V ) |
|
|
|
1 |
x2 |
|
|
|
1 y |
|
|
|
|
|
|
Вычисляем сначала внутренний интеграл по переменной |
||||||||||||||||||||
|
= 1 dx 1 dy z |12 y2 y = |
1 dx |
1 |
(2 2y) (1 y) dy = |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
x2 |
|
|
1 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 dx |
1 (1 y) dy = |
1 |
1 dx 1 y |
2 |1 |
2 = 1 |
1 1 x2 2 dx = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
x2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Затем вычисляем внутренний интеграл по y |
, и в последнюю очеред |
|||||||||||||||||||
интеграл по внешней переменной x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= 1 |
1 |
1 |
2x2 x4 dx = |
1 |
|
|
2 x3 |
x |
5 |
|
|
|
|
2 1 = |
8 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
|
|
|11= 1 |
(куб.ед.) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
3 5 15 |
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. (V ) : {z = 3x2 3y2 , |
z = 6 3x2 3y2}. |
|
Тело занимает пространство между двумя |
|
встречными параболоидами и проецируется |
|
на плоскость XOY в виде круга радиусом |
R = 1
Поэтому вычисление объема удобнее вести в цилиндрических координатах.
Формулы перехода от декартовых координат к цилиндрическим
|
{x = cos , |
y = sin , z = z}. |
И уравнения поверхностей |
|
|
z = 3x2 3y2 z = 3 2 , |
z = 6 (3x2 3y2 ) z = 6 3 2. |
|
Пределы изменения цилиндрических переменных
0 1, |
0 2 , |
3 2 z 6 3 2. |