Тема III : Кратные интегралы.

Преподаватель:

Филипенко Николай Максимович

Доцент ОМИ

Тема IV: Кратные интегралы. Практика 3

Кратные интегралы.

15 Тройной интеграл, приложения. Берман Г.Н.: № 3610, 3547, 3549, 3554, 3613.

Вычислить интегралы:

W

16.3. Найти объем тела, ограниченного параболоидами:

z x2 y2 , z x2 2y2; и плоскостями y x, y 2x, x 1.

16.4 В xydxdydz перейти к цилиндрическим координатам, где W

W

– область, находящаяся в первом октанте и ограниченная цилиндром x2 y2 R2 и плоскостями z 0, z 1, y x и y x3.

16.5 В xydxdydz перейти к сферическим координатам, где W

W

область, находящаяся в первом октанте и ограниченная сферой

x2 y2 z2 R2 .

16.7.Найти объем тела, ограниченного параболоидом z (x 1)2 y2 и плоскостью 2x z 2.

16.8.Найти объем тела, ограниченного поверхностью

(x2 y2 z2 )2 a(xyz).

16.9.Найти центр масс однородного тела, ограниченного

цилиндрами: y x; y 2x; и плоскостями z 0; x z 6. 16.10. Вычислить массу тела, ограниченного параболоидом

x2 y2 2az и сферой x2 y2 z2 3a2 , (z 0) , если плотность в каждой точке равна сумме квадратов координат точки.

Тройной интеграл в

цилиндрических

координатах

Наиболее часто при вычислении тройных интегралов используется переход от декартовых координат к цилиндрическим и сферическим. Цилиндрическая система координат представляет собой обобщение полярной системы координат на пространственный случай.

Здесь ( , ) -- полярные координаты проекции точки M

z на плоскость XOY, -- аппликата точки M

Формулы перехода от декартовых координат точки M к цилиндрическим и обратно имеют вид:

Тройной интеграл в сферических координатах

, -- сферические углы, изменяющиеся в пределах: 0 , 0 2 .

При соответствующем совмещении прямоугольной и сферической систем координат формулы перехода имеют вид

x = sin cos ,y = sin sin ,

z = cos .

В этом случае J 2 sin и переход от прямоугольных координат x, y, z к

сферическим координатам , , ρ осуществляется по формуле

§3 Приложения тройного интеграла

Вычисление объемов. Объем пространственного тела

каким-либо материальным телом с плотностью (x, y, z). Тогда: а) масса этого тела m находится по формуле

m x, y, z dxdydz;

б) моменты инерции Ix, Iy, Iz относительно координатных осей 0x, 0y, 0z;

Ixy, Ixz, Iyz относительно координатных плоскостей x0y, x0z, y0z; I0 относительно начала координат соответственно находятся

V

в) координаты центра тяжести тела находятся по формулам:

xdxdydz ydxdydz zdxdydz

Для однородного тела (μ=const) эти формулы упрощаются, так как в этом случае можно считать, что μ=1.