Функции комплексного переменного
О п р е д е л е н и е. Если каждому значению комплексной переменной
z = x iсоответствуетy определенное значение комплексной переменно
w = u i,v то говорят, что переменнаяw есть функция независимой переменнойz и пишут w = f (z)
Аналогично тому, что задание комплексного числа равносильно заданию пары действительных чисел, задание функции комплексной переменной
равносильноz заданию двух функций пары действительных переменн
xи y
Аименно: w = f (z) = u(x, y) iv(x, y)
u(x, y) Re w(z), v(x, y) Jm w(z),
Преобразования, целью которых служит нахождение функций
u(x, y), v(x, y),
называется выделением действительной и мнимой частей функции комплексного переменного.
1. w = z2 u iv = (x i y)2
u iv = x2 2ix y (i y)2 = (x2 y2 ) i2xy, u = x2 y2, v = 2xy.
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. w = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z 3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
z |
= |
x i y |
= |
x i y |
= (x i y)(x i( y 3)) |
= |
|
|
|||||||
|
|
z 3i |
|
x i y 3i |
|
x i( y 3) |
|
|
x2 ( y 3)2 |
|
|
|
|
||||
= |
x2 ixy ix( y 3) i2 y( y 3) |
|
= |
x2 |
y( y 3) |
i |
|
3x |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
x2 ( y 3)2 |
x2 |
( y 3)2 |
x2 |
( y |
3)2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
u = |
x2 |
y( y 3) |
, v = |
|
3x |
|
. |
|
x2 ( y 3)2 |
x2 |
( y |
3)2 |
|||||
|
|
|
||||||
Основные элементарные функции
1. Степенная функция w = zn
w= z3 = (x i y)3 = x3 3x2 (iy) 3x(iy)2 (iy)3 =
=x3 i3x2 y 3xy2 i3 y3 =
= x3 3xy2 i3x2 y i y3 = (x3 3xy2 ) i (3x2 y y3),
u(x; y) = x3 3xy2 , v(x; y) = 3x2 y y3.
Отметим, что при n 3 можно пользоваться алгебраическим представлением комплексного числа, а при больших значениях
показателя степени -- тригонометрическим или показательным.
2.Показательная функция w = ez
w = ez = ex i y |
= ex ei y = ex (cos y isin y). |
|||
Выделяем действительную и мнимую части функции |
||||
Reez = ex cos y, Imez = ex sin y, |
||||
а также находим модуль и аргумент |
|
|||
| ez |= ex , arg ez = y. |
|
|||
Основные правила |
|
z |
ez n = en z . |
|
|
|
|||
ez1 z2 = ez1ez2 . |
ez1 z2 = |
e 1 |
, |
|
z |
||||
|
|
e 2 |
|
|
Вычислим значения функции в некоторых точках
1. ei /2 = cos /2 isin /2 = i.
2. e i = cos1 isin1 = 0,54 0,84i.
3. e2 5i = e2 (cos5 isin5) 7.39(0,28 0,96i) 2,07 7,09i.
3. Логарифмическая функцииw = ln z |
и w = Lnz |
||
Если комплексную переменную z = x i y |
представить |
||
в показательной форме |
|
|
|
|
|
|
|
z =| z | eiArg z =| z | ei( 2 k ) , где | z |= |
|
x2 y2 |
, модуль |
= arg z аргумент числа |
|||
w = Lnz = Ln| z | eiArg z = ln | z | ei( 2 k ) = ln | z | i( 2 k).
w = ln z = ln | z | eiarg z = ln | z | iarg z = ln| z | i .
Lnz = ln| z | i(arg z 2 k), ln z = ln | z | iarg z
Действительная часть функции u(x; y) = ln | z |, мнимая -- v(x; y) = Argz.
w = ln z -- главное значение логарифма при k = 0
Свойства логарифмов:
ln(z z |
2 |
) = ln z |
ln z |
2 |
, |
ln(z /z |
2 |
) = ln z ln z |
2 |
ln z = ln z. |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
Задача. Вычислить значения логарифмов
|
1. Ln( 1 |
|
|
i) =|| 1 |
3 |
i |= |
1 3 |
= 2, |= |
|
||
|
|
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
arg( 1 3i) = 2 /3 |
|
||||||
= ln 2 i(2 /3 2 k) 0,69 i(2,09 6,28k), |
(k = 0; 1; 2;...). |
||||||||||
|
2. ln( 6) =| |
| 6 |= 6, |
|= ln 6 i 1,79 3,14i. |
||||||||
|
|
arg ( 6) = |
|
|
|
|
|
|
|
||
4. Тригонометрические функции
w = sin z, w = cos z, w = tg z, w = ctg z.
Эти функции определяются через функциюw = ez по формулам Эйлера
sin z = |
eiz e iz |
, |
cos z = |
eiz e iz |
. |
|
2i |
2 |
|||||
|
|
|
|
sin z |
1 |
eiz e iz |
|
|
cos z |
eiz e iz |
tg z = cos z |
= i |
eiz e iz |
, |
ctg z = |
sin z |
= i eiz e iz . |
Функции и не являются ограниченными
и в этом их самое существенное отличие от обычных тригонометрических функций.
Вычислим значения тригонометрических функций.
|
sin( i) = |
ei ( i) e i ( i) |
= |
e e |
|
i |
(0,04 23,10) 11,58i. |
|||
2i |
2i |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
cos(3 2i) = |
ei (3 2i) |
e i (3 2i) |
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
= 0,5[e2e3i e 2e 3i ] = |
|||||
= 0,5[e2 (cos 3 i sin 3) |
|
|
|
|
||||||
e 2 (cos 3 i sin 3)] = |
||||||||||
= 0,5[cos 3(e2 e 2 ) i sin 3(e2 e |
2 )] = 3,72 0,51i. |
|||||||||
5. Гиперболические функции |
|
|
|
|
|
||||
w = shz, |
w = chz, w = thz, w = cthz. |
|
|
||||||
shz = |
ez e z |
, chz = |
ez e z |
, thz = |
shz |
, cthz = |
chz |
. |
|
2 |
2 |
chz |
shz |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
Справедливы следующие соотношения
sin(iz) = ishz, sh(iz) = isin z, tg(iz) = ithz, ch2 z sh2 z = 1,
cos(iz) = chz, ch(iz) = cos z, ctg(iz) = icthz,
sh2z ch2 z = ch2z.
С помощью гиперболических функций можно записать формулы
sin z = sin(x i y) = sin xch y icos xsh y, cos z = cos(x i y) = cos xch y isin xsh y,
Эти формулы применяются для вычислений тригонометрических и гиперболических функций
Линии и области на комплексной плоскости
Задача. Построить линии, заданные соотношениями
|
1. | |
z 2 |
|= 3. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
z 2 |
|
z i |
|
|
|
| |
|= 3 | z 2 |= 3 | z i | |
|
|
|||
|
|
|
||||
|
z i |
|
|
|||
|
|
|||||
| z 2 |= 3| z i | | x i y 2 |= 3| x i y i | |
(x 2)2 y2 |
= |
||||
=3
x2 ( y 1)2 x2 4x 4 y2 = 9(x2 y2 2y 1)
8x2 8y2 4x 2 y 4 = 0 (x 1/4)2 ( y 9/8)2 = 45/64.
Центр окружностиO ( 1/4; 9/8) |
Радиус 45/64 0,84. |
||
|
|
|
|
2. Im(z2 3z) = 1.
Проведем преобразования |
|
|
|
z2 3z = (x iy)2 3(x iy) = |
x2 2ixy |
y2 |
3x 3iy = |
= x2 3x y2 i(2xy 3y).
Выделим мнимую часть выражения и приравняем к единице
Im(z2 3z) = 1 2xy 3y = 1 y = 1/2 . x 3/2
Линия представляет собой гиперболу