Правило Лопиталя раскрытия |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
неопределенностей |
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||
1) lim |
|
e |
x |
e |
|
0 |
lim |
(e |
|
e)' |
lim |
e |
|
7e |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
(7 |
x 1)' |
|
1 |
|
|
|
||||||||
x 1 7 |
|
0 |
|
x 1 |
x 1 |
6 / 7 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 x |
|
|
|
2) lim |
|
|
x sin x |
|
|
|
0 |
|
lim |
(x sin x)' |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x 0 1 cos3 (2x) |
|
|
0 |
|
|
|
|
(1 cos3 (2x))' |
|
|
||||||||||||
|
|
|
x 0 |
|
|
|||||||||||||||||
lim |
1 cos x |
lim |
1 cos x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|||||
x 0 3cos2 2x ( sin 2x) 2 |
x 0 6 sin 2x |
|
0 |
|
|||
|
|
|
|||||
lim |
(1 cos x)' |
lim |
|
sin x |
|
0 |
0 |
(6 sin 2x)' |
12 cos 2x |
|
|||||
x 0 |
x 0 |
12 |
|
||||
Правило Лопиталя раскрытия |
|
|||
неопределенностей ln x |
|
|
lim |
|
3) lim |
x ln x (0 ) lim |
|
|
|
|
x 0 1/ x |
|
|
|
x 0 |
|
|
x 0 |
|
lim ( x) 0
x 0
1/ x
1/ x2
4) lim (sin( x)ln(1 x)
x 0
lim ln(sinx) ln(1 x)
ex 0
00 lim eln(sinx) ln(1 x) x 0
e0 1
Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
lim ln sin( x) ln(1 x) ( 0) |
lim |
ln sin( x) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|||||
|
x 0 1/ ln(1 x) |
|
|
||
x 0 |
|
|
|
||
|
|
cos x |
|
|
|
ln 2 (1 x) |
|
x2 |
|
lim |
|
sin x |
|
|
lim |
lim |
0 |
||
|
1 |
1 |
|
sin x |
x |
||||
x 0 |
|
|
x 0 |
x 0 |
|
||||
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 (1 x) |
|
|
|
|
|
|
Глава VI. Приложения производных. Исследование и построение графиков
§ 1. Асимптоты кривой
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая ℓ называется асимптотой кривой, если при неограниченном удалении точки M кривой от начала координат расстояние от точки M до прямой ℓ стремится к нулю.
Замечание.
Выделяют два вида асимптот: вертикальные и наклонные.
Вертикальные асимптоты кривая y = f(x) не пересекает (почему?), наклонные – может пересекать.
ТЕОРЕМА (необходимое |
и достаточное условие |
|||
существова- |
|
|
|
|
ния наклонной асимптоты кривой y = f(x)). |
||||
Прямая |
y = kx + b |
является |
наклонной |
|
асимптотой |
кривой |
y = f(x) |
|
существуют |
конечные пределы |
|
|
|||||
lim |
f (x) |
k |
и |
lim [ f (x) kx] b |
|||
|
|||||||
x |
x |
|
x |
||||
|
|
f (x) |
|
(или). |
|||
lim |
k |
и |
lim [ f (x) kx] b |
||||
|
|||||||
x |
x |
|
x |
||||
y |
|
|
|
M |
|
O |
N |
P |
|
x |
|
|
|
Замечания. |
следует, |
что график |
функции |
|
1)Из теоремы |
||||
y = f(x) |
может |
иметь |
наклонную |
асимптоту |
только если функция определена в окрестности |
||||
+ или |
– . |
|
|
|
Причем, наклонных асимптот у кривой y = f(x) |
|||||
может быть не более двух: для правой ветви |
|||||
(т.е. при x |
+ ) и для левой ветви (т.е. при x – |
||||
). |
lim |
f |
(x) |
0 и |
lim f (x) b |
|
|
||||
|
x ( ) |
|
x |
x ( ) |
|
2)Если
то наклонная асимптота имеет уравнение y = b, т.е. является горизонтальной.
ТЕОРЕМА(необходимое и достаточное условие существова-
ния вертикальной асимптоты кривой y = f(x)).
Прямая x = a является вертикальной асимптотой |
||||||
кривой |
y |
= f(x) точка x = a является точкой |
||||
разрыва |
II |
рода функции y |
= f(x), причем, |
хотя |
||
бы |
один |
из односторонних |
|
пределов f(a |
– 0), |
|
f(a |
+ 0) равен бесконечности. |
|
|
|||
y
M
P
|
|
x |
|
O |
a |
||
|
