Преподаватель:
Филипенко Николай Максимович
доцент ОМИ ШБИП ТПУ
I. Предел и непрерывность функции
II. Производная функции одной переменной
III. Приложения производной
V Тема (по ИДЗ). Дифференциальное исчисление. Глава I. Введение в математический анализ.
Глава II. Теория пределов.
Глава III. Непрерывность функции.
Глава IV. Производная и дифференциал.
Глава V. Основные теоремы дифференциального исчисления
Глава V. Основные теоремы дифференциального исчисления
ТЕОРЕМА 1 (Ферма).
ТЕОРЕМА 2 (Ролля). |
непрерывна на [a; b] |
и |
|
Пусть функция y = f(x) |
|||
дифференцируема на (a; b). |
|
||
Если f(a) = f(b), то существует хотя бы одна точка |
|||
c (a; b) |
такая, что f (c) = 0 . |
|
|
Д-во: так как ф-ия непр-а, то≤m f(x) ≤ M. |
для |
||
1. m=M. Тогда f(x)=m=M=const и f (x) = 0 |
|||
любого x на [a; b]. |
|
|
|
2. M>m → M или m ≠ f(a)=f(b), т.е. есть точка с, в |
|||
которой функция принимает наибольшее или |
|||
наименьшее значение. По теореме Ферма в этой |
|||
точке |
(c) = 0 . |
|
|
|
a |
b |
|
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ |
СМЫСЛ |
теоремы |
|
Ролля |
|
|
|
a |
1 |
2 b |
|
Если функция y = f(x) удовлетворяет указанным в теореме 2 условиям, то на интервале (a; b) существует хотя бы одна точка c такая, что в соответствующей ей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ox.
ТЕОРЕМА 3 О конечных приращениях (Лагранжа).
Пусть функция y = f(x) непрерывна на [a; b] и дифференцируема на (a; b).
Тогда существует хотя бы одна точка c (a; b) такая, что
|
f (b) |
f (a) |
|
(2) |
|
|
|
|
|||
|
b |
a |
f |
(c). |
|
|
|
|
|
||
Замечание. Формулу |
(2) |
можно переписать в |
|||
виде |
|
|
|
|
|
f(x+ x) – f(x) = f(x) = f (c) x . (3)
Формулу (3) называют формулой Лагранжа
или формулой конечных приращений.
ТЕОРЕМА |
4 Обобщенная |
теорема о |
конечных |
|||||
приращениях (Коши). |
|
|
|
|
|
|
||
Пусть функции f(x) и (x) непрерывны на [a; b] |
||||||||
и дифференцируемы на |
(a; b), |
причем (x) 0, |
||||||
x (a; |
b). |
|
|
|
|
|
c (a; b) |
|
Тогда существует хотя бы одна точка |
||||||||
такая, что |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
f (b) f (a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (c) |
. |
|
|
||
|
|
(b) (a) |
|
|
(4) |
|
||
|
|
|
(c) |
|
|
|||
5. Формулы Тейлора и Маклорена
Понятие о ряде Тейлора.
Любая функция при соблюдении определенных условий в |
|
интервале, содержащем точку |
может быть |
M0 , |
|
этом интервале в виде степенного ряда, называемого рядом |
|
представлена в |
|
Тейлора. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
О п р е д е л е н и е. Рядом Тейлора функции |
|
||||||||||||
называется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
степенной ряд вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = f (x ) |
|
f (x ) |
(x x ) ... |
|
f (n) (x ) |
(x x |
)n ... . |
||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
|
1! |
|
|
0 |
|
|
n! |
0 |
|
||
|
|
|
|
f (x) |
называется |
|
|||||||
Рядом Маклорена функции |
ряд |
|
|
|
|
f (n) (0) |
|
||||||
f (x) = f (0) |
|
|
f (0) |
x |
f (0) |
x2 |
... |
|
xn ... |
||||
1! |
|
2! |
|
n! |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ряды Тейлора и Маклорена есть разложение функции в |
||
(x x0 ) |
x |
или |
ряд по степеням |
|
|
Разложение функций в степенные ряды можно проводить двумя способами.
1) Непосредственно вычислять коэффициенты |
||
ряда через значения производных функции по |
||
формуле |
|
|
cn = |
f (x0 ) |
. |
n!
2) Использовать шаблонные ряды элементарных функций.
Для этого нужно исходную функцию преобразовать к соответствующему виду, после чего можно
использовать стандартное разложение. Это способ обычно более прост в исполнении.
В таблице приведены разложения основных элементарных функц в ряд Маклорена.