Производная параметрически-заданной

функции

x x(t)

x x(t)

y'

'

y y(t)

yx

t

'

xt

x ln7 t

x't

dx

7ln6 t 1

yt' dy

3t2

3

2

y t

dt

t

dt

y'x

dy

y'

3t2

3t3

t

dx

1

7ln6 t

xt'

6

7

7ln

t

t

t

x ln

3

y'x

3t

6

t

7ln

Таблица производных

a

a 1

1

8. (tg x)

1. (x ) a x

cos2 x

2. (a

x

a

x

ln a

1

)

3. (e

x

x

9. (ctgx) sin 2 x

) e

1

1

4. (log a

10. (arcsinx)

2

x)

x ln a

1

x

1

1

5. (ln x)

x

11. (arccosx)

1

x2

cos x

1

6. (sin x)

sin x

12. (arctgx) 1 x2

7. (cos x)

1

13. (arcctgx)

1 x2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f(x)

называется

дифференцируемой в точке x0

,

если ее

приращение в этой точке может быть записано

как сумма линейной относительно x

части и

бесконечно малой более высокого порядка чем

x , т.е.

f(x0) = A x + ( x) ,(1)

где A – число, ( x) – б.м. более высокого

порядка чем

x.

выражении (1)

(т.е.

Слагаемое

A x в

линейную

относительно

x

часть

f(x0))

называют дифференциалом функции y

= f(x)

в точке x0 и обозначают: dy(x0) ,

df(x0) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция

y = f(x)

называется

дифференцируемой на интервале

(a;b) если

она дифференцируема

(т.е. имеет производную)

в каждой точке этого интервала.

Функция

y = f(x)

называется

дифференцируемой

на отрезке

[a;b] если

она дифференцируема на интервале (a;b) и

имеет

соответствующие

односторонние

производные в точках a и b.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА

Рассмотрим график функции y = f(x).

Пусть функция y = f(x)

дифференцируема в точке

x0.

функция f(x)

имеет производную f (x0)

Тогда в x0

.

N

в точке

касательная к кривой

y = f(x).

x0 x

Таким образом, дифференциал функции y = f(x) в

точке x0

равен приращению ординаты точки на

= ( ),

ПРИМЕРЫ.

; 2)

Найти дифференциалы функций: 1) y = x3

y = x . Замечания.

y = x

1) Так как для дифференциала функции

справедливо

2) Из формулы

(3)

получаем,

что производная

y = f (x)

является

отношением

2-х

дифференциалов:

y

f

dy

(x) dx .

4) d(C u) = C du ,

где

C – константа.

Говорят: «константа

выносится за знак

u

du v u dv

дифференциала».

, v(x) 0 .

d

v2

5)

v

Дифференциал дроби находится по правилу:

Рассмотрим

дифференциал

сложной

функции

y = f( (t)) .

x = (t)

дифференцируема в точке

Пусть функция

t,

функция y = f(x) дифференцируема в точке

x = (t).

x (t)

и

f (x)

и сложная

Тогда производные

функция y = f( (t)) имеет производную в точке

t , причем

y (t) = [f( (t))] = f (x) x (t)

Следовательно,

функция

y = f( (t))

дифференцируема в точке t

и ее дифференциал

в этой точке равен

dy(t)

f (x) x (t)dt,

dy(t) = y (t) dt

,

dy(t) = f (x) x (t)dt ,

dx