Преподаватель:
Филипенко Николай Максимович
доцент ОМИ ШБИП ТПУ
I. Предел и непрерывность функции
II. Производная функции одной переменной
III. Приложения производной
V Тема (по ИДЗ). Дифференциальное исчисление. Глава I. Введение в математический анализ.
Глава II. Теория пределов.
Глава III. Непрерывность функции.
Глава IV. Производная и дифференциал.
Глава IV. Производная и дифференциал.
Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применение к исследованию функций.
§1. Понятие производной
1. Определение производной функции. Необходимое условие существования
производной
Пусть y = f(x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности.
Придадим x0 приращение x такое, что
x0 + x D(f) .
Функция при этом получит приращение
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производной функции |
y = f(x) в |
||||||
точке |
x0 |
называется |
предел |
|
отношения |
||
приращения функции в этой точке к |
|||||||
приращению аргумента x, |
при x 0 (если |
||||||
|
f (x0 ) |
|
f (x0 x) |
f (x0 ) |
|
|
|
этот предел существует и конечен), т.е. |
|||||||
lim |
|
lim |
|
|
|
. |
|
x |
|
x |
|
|
|||
x 0 |
x 0 |
|
|
|
|
||
|
|
dy(x0 ) |
, |
|
df (x0 ) |
. |
Обозначают: |
y (x0 ), |
dx |
f (x0 ), |
dx |
||
|
|
|
|
Производной функции |
y = f(x) |
в точке |
||||||
|
справа (слева) называеf (x ) |
тся |
f (x |
) |
|
|||
|
|
lim |
0 |
|
lim |
0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||
|
|
x 0 |
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
(если этот предел существует и конечен). |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначают: y (x0 ), |
f (x0 ) |
|
|
|
|
|
||
y (x0 ) |
– производная y = f(x) |
в точке |
||||||
f (x0 ) |
|
|
|
|
|
|
||
|
справа, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– производная y = f(x) |
в точке |
|||||
x0
x0
x0
Геометрический смысл производной
Y
y f (x)
y0
f (x0 ) tg
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
есть угловой коэффициент |
||
точке |
касательной, |
проведенной к |
|
Значение производной функции в yx |
(x0 ) |
||
|
|
графику |
|
|
|
yx (x0 ) = tg = kê |
|
функции в данной точке
Уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке M0(x0 ; f(x0)) можно записать вyвидеf (x0 ) f (x0 ) (x x0 )
Прямая, проходящая через точку |
M0 |
перпендикулярно |
|
касательной, проведенной к |
кривой |
в точке |
M0, |
называется нормалью к кривой в точке M0. |
|
||
Т.к. для угловых коэффициентов перпендикулярных
прямых справедливо |
равенство |
k1 |
k2 = –1 , |
то |
|
уравнение нормали к |
y = f(x) в точке |
M0(x0 ; f(x0)) |
будет |
||
иметь видy f (x ) |
1 |
(x x ) |
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
f (x0 ) |
|
|
|
|
(x0) 0.
Если же f (x0) = 0, то касательная к кривой y = f(x) в
точке M0(x0 ; f(x0)) - горизонтальная прямая, уравнение которой
y = f(x0),
фференцируемость функции в точке с геометрической точки ения означает, что к графику функции в данной точке можно овести единственную невертикальную касательную (а).
ли функция недифференцируема в точке, то это означает, о касательная к графику функции в точке проходит вертикально (
= /2 yx (x0 ) = tg = k =
в точке к графику функции можно провести больше, чем одну ательную (d) (производная не существует).
Механический смысл производной.
Производная от пройденного путиS(t) по времени t
есть мгновенная скорость прямолинейного движения в данный |
||||
момент времени |
t0 |
S(t0 |
t) S(t0 ) |
|
|
|
. |
||
|
v(t0 ) = St (t0 ) = lim |
|
t |
|
|
t 0 |
|
|
|
Скорость движения в определенный момент времени также можно определить по угловому коэффициенту касательной к графику зависимости величины пройденного
Физический смысл производной
Значение производной функции в точке есть мгновенная скорость изменения функции в данной точке.