УПРАЖНЕНИЯ. |
|
|
|
(cosx) = –sinx, |
|||||||
1)Зная, что (sinx) = cosx, |
|||||||||||
(ex) = ex, получить формулы |
|
1 |
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
(tg x) |
|
|
|
, |
(ctg x) |
|
|
|
|
, |
|
cos2 x |
|
sin 2 x |
|||||||||
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||
(sh x) ch x |
(ch x) sh x, |
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
(th x) |
|
|
, |
(cth x) |
|
|
. |
||||
ch 2 x |
|
sh 2 x |
|||||||||
2)Используя теорему о производной обратной функции, доказать, что
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(arcsin x) |
|
1 x2 , |
|
(arccos x) |
|
|
|
1 x2 |
|
, x ( 1; 1); |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
(arctg x) |
|
|
, |
(arcctg x) |
|
|
, |
|
x. |
||||||||||
1 x2 |
1 x2 |
|
|||||||||||||||||
По определению и с помощью правил |
||||
дифференцирования |
находят производные |
|||
основных |
элементарных |
функций |
(так |
|
называемая «таблица производных», см. на |
||||
сайте). |
любой |
элементарной функции |
||
Производная |
||||
находится с помощью таблицы производных и |
||||
правил |
|
|
дифференци- |
|
рования. |
|
|
|
|
Основные правила дифференцирования
1.C 0
2.(C u(x)) C u (x)
3.(u(x) v(x)) u (x) v (x)
4.(u(x) v(x)) u (x) v(x) u(x) v (x)
|
u(x) |
|
|
|
|
|
|
||
5. |
|
|
u (x) v(x) u(x) v (x) |
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
v |
(x) |
|
|
|
v(x) |
|
|
|
|
|
||
6. u(v(x) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
u (v) v (x) |
||||||||
6. [ y(U (x))]' = yu Ux
7. xy ( y) = 1 yx (x)
Производная сложной функции равна произведению производной
функции по промежуточному аргументу на производную
Производнаяпромежуточногообратнойаргументафункциипоесть величинаосновномуобратная производной исходной функции
8. y (x) = y(x) (ln y(x)) Правило логарифмического дифференцирования
9. U V |
' = V U V 1 U U V lnU V функцииПроизводная показательно-степенной |
||||||||||
|
|
Производная функции, заданной параметрически |
|||||||||
|
x = x(t) |
|
|
y (t) |
|
y (t)x (t) x (t) y (t) |
|||||
10. |
|
|
, |
y (x) = |
|
y (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
x (t) |
|
(x (t))3 |
|
|
|||||
y = y(t) |
|
|
|
|
|
||||||
Таблица производных |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a 1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. (tg x) |
|
|
|
|
|
|
|
1. (x ) a x |
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
||||||||||||
2. (a |
x |
|
a |
x |
ln a |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3. (e |
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
9. (ctgx) sin 2 x |
|
|
|||||||
|
|
) e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
4. (log a |
|
|
|
|
|
|
|
10. (arcsinx) |
|
|
2 |
|||||||||
x) |
|
x ln a |
|
|
|
|
|
1 |
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
5. (ln x) |
|
x |
|
|
|
11. (arccosx) |
|
1 |
x2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
6. (sin x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin x |
12. (arctgx) 1 x2 |
|
|
|||||||||||
7. (cos x) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. (arcctgx) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
||||||