Геометрический смысл производной

X

x0

есть угловой коэффициент

точке

касательной,

проведенной к

Значение производной функции в yx

(x0 )

графику

yx (x0 ) = tg = kê

Прямая, проходящая через точку

M0

перпендикулярно

касательной, проведенной к

кривой

в точке

M0,

называется нормалью к кривой в точке M0.

прямых справедливо

равенство

k1

k2 = –1 ,

то

уравнение нормали к

y = f(x) в точке

M0(x0 ; f(x0))

будет

иметь видy f (x )

1

(x x )

0

0

f (x0 )

есть мгновенная скорость прямолинейного движения в данный

момент времени

t0

S(t0

t) S(t0 )

.

v(t0 ) = St (t0 ) = lim

t

t 0

Причем

f (x

) f (x

) f (x ).

0

0

0

ТЕОРЕМА 2 (необходимое условие существования

производной функции в точке).

производную в

Если

функция y = f(x)

имеет

точке

x0 , то функция f(x)

в этой точке

непрерывна.

Замечания.

1)Прямая,

проходящая

через

точку

M0

перпендикулярно

касательной,

проведенной к

кривой

в точке

M0, называется нормалью к

кривой в точке M .

Т.к.

для

0

коэффициентов

угловых

перпендикулярных

прямых

справедливо

равенство k1 k2

= –1 ,

то уравнение нормали к

=

( )

в точке

0( 0 ;

(

0))

будет иметь вид

y f (x )

1

(x

x )

y

f x

x

0

M

f x

0

f (x0 )

,

если

f (x0) 0.

Если же f (x0) = 0,

то касательная к кривой

y = f(x) в точке

M0(x0

; f(x0)) будет иметь вид

y = f(x0),

2) Пусть кривая y = f(x) имеет в точке M0(x0 ; f(x0))

вертикальную касательную

M0N ,

–

угол

наклона секущей M

M1

y(x0 )

K

0

0

x

Таким образом, если кривая y = f(x)

имеет в точке

M0(x0 ; f(x0))

вертикальную касательную,

то

функция

y = f(x)

не

имеет

в

точке

x0

производной.

Так как в соседних с M0 точках кривая y = f(x)

имеет касательные и их угол наклона к оси Ox

стремится к 90 при x 0, то

x0

является для

функции f(x)

lim f (x)

x x

точкой разрыва II рода, причем

§2. Основные формулы

1)

дифференцирования

Производная константы равна нулю, т.е.

C = 0,

где

С – константа.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

2)

Производная

суммы

(разности) равна сумме

(разности) производных, т.е.

v

(u v) u

3)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

Производная

произведения находится по

правилу:

(u v)

u

v u v

4) (C u) C u

, где

С – константа.

Говорят: «константа выносится за знак

производной».

5) Производная дроби находится по правилу:

u

u v

u v

v(x) 0 .

v2

v

6) Если функция

(t)

имеет производную в точке

t, а функция

f(u)

имеет производную в точке

u = (t), то сложная функция

y = f( (t)) имеет

y

f (u) u

производную в точке t, причем

7) ТЕОРЕМА 3 (о производной обратной функции).

Пусть функция y

= f(x)

имеет производную в

точке x0, причем

f (x0)

0.

Если существует

обратная функция

x = (y),

то она имеет

)

1

( y

= f(x0) и

производную в точке0

y0

f

(x0 )