Преподаватель:
Филипенко Николай Максимович
доцент ОМИ ШБИП ТПУ
I. Предел и непрерывность функции
II. Производная функции одной переменной
III. Приложения производной
V Тема (по ИДЗ). Дифференциальное исчисление. Глава I. Введение в математический анализ.
Глава II. Теория пределов. §4. Предел функции
§5. Замечательные пределы
§6. Сравнение б.м. и б.б. функций
Таблица эквивалентных бесконечно малых
1.sin (x) ~ (x),
2.arcsin (x) ~ (x),
3.tg (x) ~ (x),
4.arctg (x) ~ (x),
5. 1 cos (x) ~ 2 (x) , 2
6.ln 1 (x) ~ (x),
7.loga 1 (x) ~ (x) ln1a ,
8.e (x) 1 ~ (x),
9.a (x) 1 ~ (x) ln a,
10. n1 (x) 1 ~ (x) . n
Глава III. Непрерывность функции
§ 1. Односторонние пределы.
До сих пор мы рассматривали предел функции в точке, полагая, что
он не зависит от того, с какой стороны мы подходим к точке |
x0 . |
Существует, однако, много пределов, в которых это является существенным, и
величина предела зависит от того, слева или справа от точки x0 мы находимся. |
||||
Пусть x стремится к точке |
x0 |
слева, |
оставаясь все время меньше x0 . |
|
Записывается это |
x |
x0 0, |
(x < x0 ). |
|
так: |
||||
Соответственно предел функции при |
x (x0 0) |
|||
называется пределом функции слева или левосторонним пределом и обозначается |
||||
|
|
lim |
f (x). |
|
|
x x0 0 |
справа, оставаясь все время больше x0 |
||
Аналогично: пусть x стремится к точке |
x0 |
|||
Записывается это так: x x0 0, |
(x > x0 ). |
|||
Соответственно предел функции при |
x (x0 |
0) |
||
называется пределом функции справа или правосторонним пределом и обозначается
lim f (x).
x x0 0
Примеры.
1. y = arctg x 1 5.
Найдем пределы этой функции слева и справа от точки x = 5.
Левосторонний предел: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
limarctg |
|
1 |
|
=arctg |
|
1 |
|
|
|
=arctg |
|
1 |
|
=arctg ( )= |
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
||||||||||||||||||||
x 5 0 |
|
x 5 |
|
|
5 0 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Правосторонний предел: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
limarctg |
|
|
1 |
=arctg |
|
|
|
1 |
|
=arctg |
|
|
1 |
=arctg ( )= |
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
||||||||||||||||||||
x 5 0 |
|
|
x 5 |
|
5 0 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Как видим, эти пределы не равны между собой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
cos x |
|
Найдем пределы этой функции слева и справа от точки x = 0. |
|||||||||||||||||||||||||||
2. y = |
x . |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
lim |
cos x |
= cos( 0) |
= cos 0 |
= |
1 |
|
= . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Левосторонний предел: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Правосторонний предел: |
lim |
cos x |
= |
cos( 0) |
= |
cos 0 |
= |
1 |
|
= . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Как видим, эти пределы не равны между собой.
§ 2. Непрерывности функции, точки разрыва и их классификация.
О п р е д е л е н и е 1. Функция y = f (x)
называется непрерывной в точкеx0 если, выполняются три условия:
1) функция определена в этой точке, т.е. существует значение |
|
функции в точке |
x0 , равное f (x0 ), |
2) односторонние пределы функции в точке существуют
lim f (x) = A, |
lim f (x) = B, |
x x0 0 |
x x0 0 |
3) односторонние пределы равны между собой и равны значени функции в точке
lim |
f (x) = lim f (x) = f (x0 ) |
x x0 0 |
x x0 0 |
Если в точке x0 |
нарушается какое-либо условие непрерывности |
функции, то точка |
x0 называется точкой разрыва функции. |
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (на языке - ).
Функция f(x) называется непрерывной в точке x0 если >0 >0 такое, что
если | x – x0 | < ,
то | f(x) – f(x0) | < .
Пусть x, x0 D( f ) (x0 – фиксированная, x – произвольная)
Обозначим: x = x – x0 – приращение аргумента
f(x0) = f(x) – f(x0) – приращение
функции в точке x0
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 (геометрическое).
Функция f(x) называется непрерывной в точке
x0 если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует
бесконечно малое приращение0 функции
lim f (x ) 0 , т.е.
x 0
Классификация точек разрыва
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
У с т р а н и м ы й р а з р ы в |
Н е у с т р а н и м ы й р а з р ы |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II - го р о д а |
||
|
|
|
|
|
|
I - го р о д а |
||||
У с т р а н и м ы й р а з р ы в. Точка x0 |
|
|
|
|
|
|||||
называется точкой устранимого |
||||||||||
разрыва функции y = f (x), |
если функция в точке не определена, |
|||||||||
|
но односторонние пределы существуют и равны между собой |
|||||||||
|
lim |
f (x) = |
lim |
f (x) = A. |
|
|
|
|
||
|
x x0 0 |
|
|
x x0 0 |
|
|
|
|
|
|
Такой разрыв можно устранить, доопределив функцию в точке разрыва x0
значением ее предела A, тогда функция запишется системой
f (x), |
x x0 , |
y = |
x = x0 . |
A, |
Н е у с т р а н и м ы й р а з р ы в I - го р о д а. Точкаx
0
называется точкой неустранимого разрыва I- го рода или точкой конечного скачка функции y = f (x), если односторонние пределы существуют,
но не равны между собой |
f (x) lim f (x). |
lim |
|
x x0 0 |
x x0 0 |
При этом в самой точке x0 |
функция может быть и не определена. |
Скачок функции равен абсолютной величине разности односторонних пределов
lim |
f (x) |
lim |
f (x) | | A B | |
||
| x x |
0 |
x x |
0 |
||
0 |
|
|
0 |
|
|
Н е у с т р а н и м ы й р а з р ы в II - го р о д а. Точка x0
называется точкой неустранимого разрыва II- го рода функции y = f (x), если хотя бы один из односторонних пределов не существует
или равен бесконечности lim |
f (x) = , или |
lim |
f (x) = . |
|
x x0 0 |
x x0 0 |
|
|
|
В случаях, когда односторонние пределы равны бесконечности, разрыв II- го |
||||
рода называют бесконечным разрывом, а точку |
x0 |
|
точкой бесконечного |
|
скачка функции.