Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Математика / ДИ-3 непрерывность функции-22.pptx
Скачиваний:
3
Добавлен:
27.11.2024
Размер:
585.64 Кб
Скачать

Преподаватель:

Филипенко Николай Максимович

доцент ОМИ ШБИП ТПУ

I. Предел и непрерывность функции

II. Производная функции одной переменной

III. Приложения производной

V Тема (по ИДЗ). Дифференциальное исчисление. Глава I. Введение в математический анализ.

Глава II. Теория пределов. §4. Предел функции

§5. Замечательные пределы

§6. Сравнение б.м. и б.б. функций

Таблица эквивалентных бесконечно малых

1.sin (x) ~ (x),

2.arcsin (x) ~ (x),

3.tg (x) ~ (x),

4.arctg (x) ~ (x),

5. 1 cos (x) ~ 2 (x) , 2

6.ln 1 (x) ~ (x),

7.loga 1 (x) ~ (x) ln1a ,

8.e (x) 1 ~ (x),

9.a (x) 1 ~ (x) ln a,

10. n1 (x) 1 ~ (x) . n

Глава III. Непрерывность функции

§ 1. Односторонние пределы.

До сих пор мы рассматривали предел функции в точке, полагая, что

он не зависит от того, с какой стороны мы подходим к точке

x0 .

Существует, однако, много пределов, в которых это является существенным, и

величина предела зависит от того, слева или справа от точки x0 мы находимся.

Пусть x стремится к точке

x0

слева,

оставаясь все время меньше x0 .

Записывается это

x

x0 0,

(x < x0 ).

так:

Соответственно предел функции при

x (x0 0)

называется пределом функции слева или левосторонним пределом и обозначается

 

 

lim

f (x).

 

x x0 0

справа, оставаясь все время больше x0

Аналогично: пусть x стремится к точке

x0

Записывается это так: x x0 0,

(x > x0 ).

Соответственно предел функции при

x (x0

0)

называется пределом функции справа или правосторонним пределом и обозначается

lim f (x).

x x0 0

Примеры.

1. y = arctg x 1 5.

Найдем пределы этой функции слева и справа от точки x = 5.

Левосторонний предел:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

limarctg

 

1

 

=arctg

 

1

 

 

 

=arctg

 

1

 

=arctg ( )=

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2

x 5 0

 

x 5

 

 

5 0 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Правосторонний предел:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

limarctg

 

 

1

=arctg

 

 

 

1

 

=arctg

 

 

1

=arctg ( )=

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2

x 5 0

 

 

x 5

 

5 0 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как видим, эти пределы не равны между собой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

 

Найдем пределы этой функции слева и справа от точки x = 0.

2. y =

x .

 

 

 

 

 

lim

cos x

= cos( 0)

= cos 0

=

1

 

= .

 

 

 

 

 

Левосторонний предел:

 

 

 

 

 

 

x

 

0

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

Правосторонний предел:

lim

cos x

=

cos( 0)

=

cos 0

=

1

 

= .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

0

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как видим, эти пределы не равны между собой.

§ 2. Непрерывности функции, точки разрыва и их классификация.

О п р е д е л е н и е 1. Функция y = f (x)

называется непрерывной в точкеx0 если, выполняются три условия:

1) функция определена в этой точке, т.е. существует значение

функции в точке

x0 , равное f (x0 ),

2) односторонние пределы функции в точке существуют

lim f (x) = A,

lim f (x) = B,

x x0 0

x x0 0

3) односторонние пределы равны между собой и равны значени функции в точке

lim

f (x) = lim f (x) = f (x0 )

x x0 0

x x0 0

Если в точке x0

нарушается какое-либо условие непрерывности

функции, то точка

x0 называется точкой разрыва функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (на языке - ).

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0 если >0 >0 такое, что

если | x x0 | < ,

то | f(x) – f(x0) | < .

Пусть x, x0 D( f ) (x0 – фиксированная, x – произвольная)

Обозначим: x = x – x0 приращение аргумента

f(x0) = f(x) – f(x0) – приращение

функции в точке x0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 (геометрическое).

Функция f(x) называется непрерывной в точке

x0 если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует

бесконечно малое приращение0 функции

lim f (x ) 0 , т.е.

x 0

Классификация точек разрыва

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в

У с т р а н и м ы й р а з р ы в

Н е у с т р а н и м ы й р а з р ы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II - го р о д а

 

 

 

 

 

 

I - го р о д а

У с т р а н и м ы й р а з р ы в. Точка x0

 

 

 

 

 

называется точкой устранимого

разрыва функции y = f (x),

если функция в точке не определена,

 

но односторонние пределы существуют и равны между собой

 

lim

f (x) =

lim

f (x) = A.

 

 

 

 

 

x x0 0

 

 

x x0 0

 

 

 

 

 

Такой разрыв можно устранить, доопределив функцию в точке разрыва x0

значением ее предела A, тогда функция запишется системой

f (x),

x x0 ,

y =

x = x0 .

A,

Н е у с т р а н и м ы й р а з р ы в I - го р о д а. Точкаx

0

называется точкой неустранимого разрыва I- го рода или точкой конечного скачка функции y = f (x), если односторонние пределы существуют,

но не равны между собой

f (x) lim f (x).

lim

x x0 0

x x0 0

При этом в самой точке x0

функция может быть и не определена.

Скачок функции равен абсолютной величине разности односторонних пределов

lim

f (x)

lim

f (x) | | A B |

| x x

0

x x

0

0

 

 

0

 

 

Н е у с т р а н и м ы й р а з р ы в II - го р о д а. Точка x0

называется точкой неустранимого разрыва II- го рода функции y = f (x), если хотя бы один из односторонних пределов не существует

или равен бесконечности lim

f (x) = , или

lim

f (x) = .

x x0 0

x x0 0

 

 

В случаях, когда односторонние пределы равны бесконечности, разрыв II- го

рода называют бесконечным разрывом, а точку

x0

 

точкой бесконечного

скачка функции.