имвол |
n! |
n |
( факториал) есть краткая запись |
||
роизведения натуральных чисел от 1 до включительно, т.е.
n!= 1 2 3 4 (n 1) n.
Например, 3!= 1 2 3 = 6, 5!= 1 2 3 4 5 = 120.
Для решения примеров полезно использовать следующие соотношения
8.lim
n
(n 1)!= 1 2 3 4 n (n 1) = n!(n 1), n!= 1 2 3 4 (n 1) n = (n 1)! n,
(n 2)!= 1 2 3 4 n (n 1) (n 2) =
= n!(n 1)(n 2) = (n 1)! (n 2) = (n 1)! n(n 1)(n 2).
n! |
|
|
|
n! |
= lim |
1 |
|
= lim |
1 |
= 0. |
||
|
|
= |
|
lim |
|
|
|
|
|
|||
(n 1)! n! |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
n n![(n 1) 1] |
n (n 1) 1 |
n n |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Неопределенность |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|||||
1 |
lim |
|
5 |
|
x |
|
|
lim |
5 |
x |
)( |
|
5 |
x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x 5 |
|
|
0 |
|
|
(x 5)( |
|
5 x ) |
|
|||||||||||||||
) |
|
x 5 |
|
|
|
|
x 5 |
|
|
|||||||||||||||||
lim |
5 |
|
x |
lim |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(x 5)( |
|
5 x ) |
5 x |
2 5 |
|
|||||||||||
x 5 |
|
x 5 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
x2 9 3 |
|
0 |
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x 4 2 |
|
0 |
|
||||
) |
x 0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
x2 9 3)( |
|
|
|
|
x2 9 3) |
|
||||||||||
lim |
|
x 4 |
2)( |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( |
|
|
2)( |
|
|
|
2)( |
x2 |
9 |
3) |
||||||||
x 0 |
|
x 4 |
x 4 |
|
||||||||||||||
lim |
4(x2 9 9) |
lim |
4x |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
6(x 4 4) |
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x 0 |
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Неопределенность |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) lim |
|
x 2 2x |
3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x 3 x3 3x2 4 x 12 |
|
0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
( x 3)( x 1) |
|
|
|
|
|
|
||||||
x2 ( x 3) |
4( x 3) |
|
|
|
|||||||||
x 3 |
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
( x 3)( x 1) |
lim |
x 1 |
|
4 |
||||||||
( x 3)( x2 4) |
x 2 4 |
5 |
|||||||||||
x 3 |
|
|
x 3 |
|
|||||||||
Теорема Виета: Если x1 , x2 корни уравнения
ax2 bx c 0 |
x1 x2 b / a, |
x1x2 c / a |
|
, то: |
|
|
|
В нашем случае: |
x1 x2 3 |
x1 3 x2 1 |
|
|
|
|
|
ax2 bx c a(x x1 )(x x2 )
§ 5. Замечательные пределы
Название |
замечательных |
пределов |
в |
|
математическом анализе получили следующие |
||||
два утверsin x |
ждения: |
|
|
|
1) lim |
1 |
– первый замечательный |
||
x 0 x |
|
|||
предел; |
1 |
|
|
|
2) lim 1 x x e |
|
|
|
|
x 0 |
|
– второй замечательный |
||
предел. |
|
|||
|
|
|
|
|
СЛЕДСТВИЯ tgПЕxРВОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГОarcsin xПРЕДЕЛА |
||||||
1) lim |
|
1 |
|
3 lim |
|
1 |
(доказать самостоятельно) |
|
|||||
x 0 x |
|
|
x 0 |
x |
|
|
2) lim |
1 cos x |
1 |
4) lim |
arctg x |
1 |
|
x 0 |
x2 2 |
|
x 0 |
x |
|
|
СЛЕДСТВИЯ ВТОРОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА (доказать самостоятельно)
1) lim |
ln(1 x) |
1 |
3) |
lim |
ex 1 |
1 |
|
x 0 |
x |
|
|
|
x 0 |
x |
|
2) lim |
loga (1 x) |
1 |
4) |
lim |
a x 1 |
1 |
|
x ln a |
|
x ln a |
|||||
x 0 |
|
|
|
x 0 |
|
||
Замечание. Из формулы замены переменной 1- й и 2-й замечательный пределы и их следствия остаются верными, если вместо x будет стоять любая б.м. функция (x).
§ 6. Сравнение б.м. и б.б. функций
Пусть функции |
(x) и (x) – б.м. при |
x x0 . |
||||||
ОПРЕДЕЛЕНИЯ. |
|
бесконечно малой более |
||||||
1) (x) |
называется |
|||||||
|
|
|
( |
x |
) |
|
|
|
высокого порядка чем lim |
|
если0 |
|
|||||
|
|
|
|
(x) |
|
|
||
|
|
|
x x0 (x) |
|
|
|||
Записывают: (x) = o( (x)) . |
|
|
|
|
||||
2) (x) |
и (x) |
называются бесконечно малыми |
||||||
одного порядка, если |
|
|
|
|
где С и |
|||
C 0 . |
lim |
(x) C , |
|
|
|
|
||
x x0 |
(x) |
|
|
|
|
|
||
Записывают: (x) = O( (x)) .
3) (x) и (x) называются эквивалентными, если
lim (x) 1
Записывают: (x) ~ (xx). x0 (x)
4) (x) называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно малой (x), если бесконечно малые (x) и ( (x))k имеют один
порядок, т.е. если |
(x) |
|
где С и |
|
|
lim |
C , |
||
C 0 . |
k |
|||
x x0 |
(x) |
|
|
|
ТЕОРЕМА (о замене бесконечно малых на |
|||||||
эквивалентные). |
(x), |
(x) |
|
|
|||
Пусть (x), |
(x), |
– б.м. при |
x x . |
||||
Если |
lim |
(1x) |
|
1 |
1 |
(x) |
0 |
(x) |
lim |
|
(x) |
|
|||
|
x x0 |
|
x x0 |
|
|||
то |
(x) ~ 1(x), (x)1 |
~ 1(x), |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ТЕОРЕМА (о главной части бесконечно малой).
Пусть (x) и (x) – б.м. при x x0, причем (x) – б.м. более высокого порядка чем (x). Тогда
(x) = (x) + (x) ~ (x) .
Замечание. Из 1-го и 2-го замечательных |
|||||
пределов и их следствий |
если |
(x) 0 при |
|||
x x0 |
, то |
sin (x) ~ (x) |
|
|
|
|
|
tg (x) ~ (x) |
|
|
|
|
arcsin (x) ~ (x) |
|
|
||
|
|
arctg (x) ~ (x) |
|
|
|
|
ln 1 (x) ~ (x) |
|
|
||
|
loga 1 (x) ~ |
(x) |
|
|
|
|
|
|
ln a |
|
|
|
|
e ( x) 1 ~ (x) |
|
|
|
|
|
a ( x) 1 ~ (x) ln a |
|
||
|
1 |
cos (x) ~ |
(x) 2 |
|
|
2
(таблица эквивалентных бесконечно малых)
Аналогично бесконечно малым сравниваются и |
||||||||||
бесконечно большие функции. |
|
|
|
|||||||
А именно, если |
f(x) |
и g(x) – бесконечно большие |
||||||||
при x x0, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)f(x) называется бесконечно большой более |
||||||||||
высокого порядка чем g(x) если |
|
f (x) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) |
||
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
2)f(x) и g(x) называются бесконечно большими |
||||||||||
одного порядка, если |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
lim |
f (x) |
C , |
где С и |
||||
|
|
|
g(x) |
|||||||
C 0 ; |
3) |
x x0 |
|
|||||||
|
f(x) |
|
и g(x) |
|
называются |
|||||
эквивалентными |
бесконечно большими |
|||||||||
(записывают: |
f (x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
) ~ g(x)), если |
|
|
|
||||||
lim |
g(x) |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4)f(x) называется |
бесконечно малой порядка k |
|||||||||
относительно |
бесконечно большой g(x), |
|||||||||
если |
lim |
|
f (x) |
C , |
|
где С и |
||||
|
|
g(x) k |
|
|||||||
C 0 . |
x x0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТЕОРЕМА |
|
(о |
замене бесконечно |
больших |
на |
|||||
эквивалентные). |
(x), |
|
(x) – б.б. при |
x x . |
||||||
Пусть |
f(x), |
g(x), f |
g |
|||||||
Если |
|
|
1 |
|
1 |
lim |
f (x) |
lim |
f1(x) |
0 |
|
|
|
|
|
g(x) |
g (x) |
|
|||
f(x) ~ f |
(x) , g(x) ~ g (x), то x x0 |
x x0 |
|
|||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
ТЕОРЕМА (о главной части бесконечно большой).
Пусть f(x) и g(x) – б.б. при x x0, причем g(x) – бесконечно большая более высокого порядка чем f(x). Тогда
z(x) = f(x) + g(x) ~ g(x) .
Б.б. g(x) называют в этом случае главной частью бесконечно большой z(x) .
|
0 |
Неопределенность |
0 |
|
|
sin x
Первый замечательный предел:limx 0 x 1
Две бесконечно малые(x) эквивалентными приx x0
отношения равен единице:
lim |
(x) |
1 |
|
x 0 |
(x) |
|
|
и(x) называются , если предел их
(x) ~ (x)
Следствия из 1-го замечательного предела: при 0
sin ~ |
tg ~ |
arcsin ~ |
||
arctg ~ |
1 cos ~ |
2 |
||
2 |
||||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Неопределенность |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При вычислении |
|
|
|||||
1 |
lim sin 5x |
0 |
lim |
5x |
5 |
пределов можно |
|
|
|||||||||||||
) |
x 0 |
tg 3x |
0 |
|
x 0 |
3x |
|
|
|
3 |
заменять бесконечно |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
малую на |
|
|
|||||
|
|
x sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
эквивалентную ей |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
lim |
0 |
lim |
x 2x |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
arcsin 3x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
) |
x 0 |
|
0 |
|
x 0 |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
lim |
cos 3x 1 |
|
0 |
lim |
|
|
(3x)2 / 2 |
|
9 |
|
|
|
||||||||
|
tg2 7x |
0 |
|
|
|
(7x)2 |
98 |
|
|
|
|||||||||||
) |
x 0 |
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 |
lim cos x cos 2x 0 lim cos x 1 1 cos 2x |
|
|||||||||||||||||||
) |
x 0 |
|
|
sin 2 x |
|
|
|
0 |
|
|
x 0 |
|
|
|
x2 |
|
|
||||
|
lim |
|
x2 |
/ 2 (2x)2 / 2 |
|
lim |
3x2 |
|
3 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
2x2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
||||||