6)Пусть {xn} – ограничена, { n} – бесконечно малая. Тогда {xn n} – бесконечно малая.
7)Пусть { xn } и { yn } – сходящиеся и
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim x a, |
lim |
y |
n |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
n |
|
|
|
Тогда их сумма, разность, произведение и |
|
|
|
|||||||||||
частное тоже являются сходящимися |
|
|
|
|
||||||||||
последовательностями, причем |
|
|
|
|
|
|||||||||
a) |
lim (x |
n |
y |
n |
) |
a b |
|
|
|
|
|
|||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) |
lim (xn yn ) a b |
|
|
|
|
|
||||||||
|
n |
xn |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c) |
lim |
|
|
|
|
|
b |
(b 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
yn |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СЛЕДСТВИЕ свойства 7. Если {xn} сходится к a, то |
||
c последовательность |
{cx } тоже |
|
сходится, причем |
|
n |
|
|
|
lim (cxn ) c lim xn ca |
|
|
n |
n |
|
Говорят: «константу можно вынести за знак |
|
предела» |
|
8) Пусть {xn} a |
и xn 0 (или xn > 0), n . |
Тогда a 0. |
|
9) Пусть {xn} и {yn} – сходящиеся последовательностиlim xnи lim yn
xn ynn (xn < yn n) ), n .
Тогда
10) ЛЕММА о двух милиционерах.
Пусть последовательности сходятся к одному и тому же имеет место неравенство
xn zn yn , n .
{xn} и {yn} числу и n
Тогда последовательность {zn} тоже сходится, |
|||
причем |
lim xn lim zn lim yn |
||
|
|||
|
n |
n |
n |
3. Бесконечно большие
последовательности
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовая последовательность {xn} |
||||
называется бесконечно большой, если M>0 |
||||
N такое, что |
|
|
|
|
|
| xn | >M , |
n>N. |
||
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ |
|
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ |
||
БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ |
||||
Расширим множество . |
|
|
||
I способ. Дополним множество элементами, |
||||
обозначаемыми |
|
+ |
и – (называют: «плюс |
|
бесконечность» и «минус бесконечность») |
||||
При этом справедливо: – |
< r < + , r . |
|||
II способ. Дополним множество элементом, |
||||
обозначаемыми |
|
(называют: «бесконечность») |
||
При этом |
не |
связана с действительными |
||
числами отношением порядка.
Множество {– , + } и { } называют
расширенным множеством действительных чисел (способ расширения всегда понятен из контекста).
Обозначают: ̄.
Элементы – , + , называют бесконечно удаленными точками числовой прямой.
-окрестностью точек – , + , считают следующие |
||||||
множества: |
|
|
|
|
|
|
x > 1/ } |
0 |
1 |
x |
|||
U(+ , ) = { x | |
|
|
|
|
||
U(– , ) = { x | x < –1/ } |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
U( , ) = { x | | x | > 1/ } |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
x
x
Если {xn} – бесконечно большая, то с геометрической точки зрения это означает, что в любой -окрестности точки находятся все члены последовательности, за исключением может быть конечного их числа.
(Геометрическая интерпретация бесконечно большой последовательности).
lim xn , xn
Записывают:n
Говорят: «последовательность { xn } стремиться к».
Частные |
случаи |
|
бесконечно |
больших |
|
последовательностей: |
|
|
|
||
1) {xn} – бесконечно большая и xn 0 , |
n . |
||||
Тогда | xn | = xn >M , |
n>N |
|
|
||
все |
члены |
|
последовательности, за |
||
|
lim xn , |
xn |
|
||
исключением может быть конечного их числа,
n
находятся в любой -окрестности точки + .
2) { xn } – бесконечно большая и xn 0 , n . Записывают:lim xn , xn
n
Говорят: «последовательность { xn } стремиться к – ».
СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
1) Если {xn} – б.б., то последовательность {1/xn} – б.м.
Если последовательность { n} – б.м, то {1/ n} – б.б.
(связь бесконечно больших и бесконечно малых)
2)Если {xn} и {yn} – б.б. последовательности
одного знака, то их сумма { xn + yn } – б.б. того же знака.
3) Если {xn} – б.б., а {yn} – ограниченна, то их сумма {xn + yn} – б.б. последовательность.
4) Если {xn} и {yn} – б.б., то их произведение {xn yn} – б.б. последовательность.
5) Если {xn} – б.б., {yn} – сходящаяся, причем lim yn a 0
n
то их произведение |
{xn yn} – б.б. |
последовательность. |
|
7) Если последовательность {xn} – б.б. и для любого n имеет место неравенство
| xn | < | yn | (| xn | | yn |),
то последовательность {yn} тоже является б.б.
8) Пусть {xn} и {yn} – б.б. одного знака и для любого n имеет место неравенство
xn zn yn .
Тогда последовательность {zn} тоже является б.б. того же знака.
(лемма о двух милиционерах для б.б. последовательностей)
§3. Монотонные последовательности.