Преподаватель:
Филипенко Николай Максимович
доцент ОМИ ШБИП ТПУ
I. Предел и непрерывность функции
II. Производная функции одной переменной
III. Приложения производной
V Тема (по ИДЗ). Дифференциальное исчисление. Глава I. Введение в математический анализ.
Математический анализ – часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются с помощью пределов. Переменная, функция и предел – это основные понятия математического анализа, т.к. на
них основаны понятия производной и интеграла.
§1. Множества. 1.1 Обозначения и операции.
- «для любого» , Ǝ - «существует, имеется» → - «стремится» => - «следует»
A, B, X,… a,b,x,… X={x1,x2,…} а ϵ А , V - «или» , Ʌ“и” ….
1.2 Числовые множества.
N – натуральные, Z – целые, Q - рациональные, R - вещественные, C - комплексные . Отрезок, интервал: a<x<b .
§2. Переменные величины.
Переменной |
величиной |
|
называется |
величина, |
|
|
которая |
принимает |
|
различные |
числовые |
|
значения. |
Обозначают: |
x, y, z, u, v, … Или |
||
|
Переменная величина – это упорядоченный ряд |
||||
|
числовых |
значений |
|
или |
числовая |
|
последовательность. |
|
|
|
|
Областью |
изменения |
переменной |
величины |
||
|
называют совокупность всех её значений, |
||||
|
например, отрезок [a;b] или интервал (а;b). |
||||
Окрестностью данной |
точки х0 |
называют |
|||
|
произвольный интервал (а;b), содержащий эту |
||||
|
точку внутри себя: |
|
|
|
|
х0 |
(а;b). Переменные величины могут быть |
||||
|
ограниченными, убывающими, возрастающими, … |
||||
§3. Функции одной переменной.
Пусть X,Y – множества произвольной природы. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если x X поставлен в соответствие
единственный элемент y Y, то говорят, что на множестве X задана функция (отображение) с множеством значений Y.
Записывают: f: X Y, y = f(x)
(где f – закон, осуществляющий соответствие)
Называют: X – область (множество) определения функции
(часто обозначают: D – ОДЗ)
x (x X) – аргумент (независимая переменная) Y – область (множество) значений ( Е)
y (y Y) – зависимая переменная (функция).
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ
1) аналитический:
а) явное задание (т.е. формулой y = f(x) ) б) неявное задание (т.е. с помощью уравнения F(x,y)=0 ).
2)табличный;
3)графический;
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Графиком функции |
|
y = f(x) |
называется геометрическое |
место точек плоскости с координатами
(x; f(x)).
График функции y = f(x) будем также называть «кривой y = f(x)».
Основные характеристики поведения
функции
1)Четность функции (чётная, нечётная, общего вида);
2)Периодичность функции;
3)Монотонность функции (возрастающая, убывающая, неубывающая, невозрастающая);
4)Ограниченность функции (ограниченная сверху, ограниченная снизу, ограниченная).
1) |
§4. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ: |
степенные: y = x r (r ) |
|
2) |
показательные: y =ax (a > 0, a 1); y =ex |
3) |
логарифмические: y =logax (a > 0, a 1); |
y =lnx |
|
4)тригонометрические:y=sinx, y=cosx, y=tgx, |
|
y=ctgx |
|
5) |
обратные тригонометрические: |
y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx
Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой y = f(x), где f(x) – выражение, составленное из основных элементарных функций и действительных чисел с помощью конечного числа операций сложения, вычитания,
умножения, деления и взятия функции от
§5. КЛАССИФИКАЦИЯ ФУНКЦИЙ. 1. Алгебраическая
Многочленом степени n (полиномом, целой рациональной) |
|||||||
называется функция вида |
|
a |
|
xn 2 |
... a |
|
|
P |
(x) a xn a xn 1 |
2 |
n |
||||
n |
0 |
1 |
|
|
|
||
|
(ak R, a0 0, |
n N, |
k 0, ..., n). |
|
|
||
Рациональной (дробной рациональной) функцией называют |
||||||||
отношение двух многочленов |
|
a |
xn 2 |
... a |
|
|
||
f (x) |
a xn a xn 1 |
n |
|
|||||
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|||
b xm b xm 1 |
b xm 2 |
... b |
||||||
|
||||||||
|
0 |
1 |
2 |
|
m |
|||
Иррациональными функциями называют функции, полученные конечным числом арифметических операций над аргументом х с рациональным показателем.
Алгебраическими функциями называют рациональные (целые рациональные и дробные рациональные) и иррациональные функции.
Трансцендентными называют остальные элементарные функции.
2. Неявные функции. F(x,y)=0 . X+siny=lnx
3. Взаимо-обратные функции. -1
y=f(x) x=g(y) = f (y)