Векторное произведение в координатной форме
|
|
|
i |
j |
k |
[ a , |
|
] = |
ax ay |
az |
|
b |
|||||
|
|
|
bx |
by |
bz |
|
|
|
|
|
|
|
|
[ a , |
|
|
] = i |
|
ay |
|
az |
|
– j |
|
ax az |
|
|
+ k |
|
ax ay |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
by |
|
bz |
|
|
|
bx |
bz |
|
|
|
|
bx by |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
екторное произведение в координатной |
|
форме |
|
представляет собой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
пределитель третьего порядка, в первой строке которого стоят |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
азисные векторы декартовой системы координат, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
во второй и третьей строках – координаты перемножаемых вектор |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2; 7;5 |
||||||||
Пример. Найти векторное произведение векторов |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3;0; 4 |
|
Решение. Составляем определительии |
|||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
раскладываем его по элементам первой |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
строки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
i |
|
|
|
j |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
7 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 |
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
( 7) ( 4) 5 0 |
|
(2 ( 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 ( 3)) k |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
i |
j |
(2 0 ( 7) ( 3)) 28 i |
7 j 21 k |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Применение векторного произведения
Основные приложения векторного произведения:
1. Нахождение площадей параллелограмма и треугольника.
2. Нахождение вектора, перпендикулярного двум векторам.
лощадь параллелограмма, построенного на двух векторах, авна модулю векторного произведения этих векторов
S = |[ a , b ]|.
|
|
S |
S |
|
a |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
b |
|||||||
b |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
a |
Площадь |
||
|
|
|
треугольника |
||
|
|
|
1 |
|
|
b |
|
|
|||
|
|
||||
|
|
S |
S = 2 |[ a , b ]|. |
||
a
A(-1,2,-2) B(2,0,6) C(3,3,-4) D(-2,4,2).
2) Найти площадь грани ABC
Площадь треугольника равна 1/2 модуля вектора векторного произведения векторов на которых он построен
Находим координаты любых двух векторов на которых AB {3, 2, 8} ÀC {4, 1, 2}
построен треугольник ABC:
Находим векторное произведение векторов :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB, AC |
i |
|
|
j |
k |
|
|
|
2 |
8 |
|
|
|
|
|
3 |
8 |
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3 |
2 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
||||||||||||||||||||||
i |
|
1 |
2 |
j |
4 |
2 |
|
|
4 |
1 |
||||||||||||||||||||||
|
4 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38 |
|
|
|
|
|
|
{ 4, 38,11} |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11k |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4i |
j |
|||||||||||||||||
Находим площадь треугольника :
S 12 AB, AC 12 
( 4)2 382 112 12 
1581
Смешанное произведение трех векторов
Определение. Смешанным произведением трёх
векторов a , b и c называется число, получаемое следующим образом: векторное произведение [ a , b ] умножаем скалярно на c :
( a , b , c ) = ([ a , b ], c ).
ометрически смешанное произведение по абсолютной величине вняется объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
[a, b] |
V = |( a , b , c )|. |
c |
|
|
Объем треугольной пирамиды |
V = 16 |( a , b , c )|.
Свойства смешанного произведения
1.([ a , b ], c ) = – ([ b , a ], c )
2.([ a , b ], c ) = ([ b , c ], a ) = ([ c , a ], b )
3.([ a , b ], c ) = ( a ,[ b , c ])
Условие компланарности векторов.
Если три вектора компланарны, то их смешенное произведение равняется нулю.
[a, b] |
c |
b |
a |
( a b c) 0
Смешанное произведение в координатной форме
Пусть a ={ ax , ay , az }, |
|
={bx ,by ,bz }, c ={cx , cy , cz }. |
||||||||
b |
||||||||||
да смешанное произведение в координатной форме равняется |
||||||||||
ределителю третьего порядка, строками которого являются координаты |
||||||||||
х векторов |
( a , |
|
, c ) = |
|
ax |
ay |
az |
|
||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
bx |
by |
bz |
|
||||
|
b |
|||||||||
|
|
|
|
|
cx |
cy |
cz |
|
||
Применение смешанного произведения:
ождение объемов параллелепипеда и пирамиды. верка условия компланарности трех векторов.
верка линейной независимости векторов или проверка условия, ют ли три вектора базис в трехмерном пространстве.
Если векторы некомпланарны, то они линейно независимы и образуют базис. Их смешанное произведение отлично от нуля
( a |
|
c ) |
ax |
ay |
az |
0 |
|
bx |
by |
bz |
|||
b |
||||||
|
|
|
cx |
cy |
cz |
|
A(-1,2,-2) B(2,0,6) C(3,3,-4) D(-2,4,2).
3) Найти длину высоты опущенной из вершины D |
|||||||||||
По известной |
|
|
Vпир |
1 SABC hD |
|
|
|
||||
формуле: |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
С другой стороны, объем пирамиды равен 1/6 |
|||||||||||
абсолютной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
величины смешанного произведения векторов, на |
|||||||||||
которых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим смешанное произведение |
|
|
|
||||||||
построена |
пирамида3 2 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
векторов : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB, AC, AD |
4 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
( 2) |
4 |
2 |
8 |
4 |
|
1 |
2 |
4 |
|
2 |
4 |
|
1 |
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1
2
3 8 2 14 8 9 124 |
Vпир 1 |
|
AB, AC, AD |
|
124 |
62 |
|||||||||
Объем пирамиды: |
|
|
|||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Длина высоты: |
hD |
3Vпир |
|
3 62 / 3 |
|
124 |
|
|
|||||||
SABC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1581 / 2 |
1581 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||