Векторная алгебра
Преподаватель:
Филипенко Николай Максимович
Доцент ОМИ ТПУ
онятие вектора. Линейные операции над векторам
Вектором называется направленный отрезок прямой, |
|
|
|||||
ограниченный двумя точками – начальной и конечной. |
B |
|
|||||
Обозначают: |
AB |
a |
|
|
|||
A - начало вектора, B - конец вектора. |
|
A |
|
|
|||
Если заданы две точки в декартовой системе координат: |
|
||||||
и B x2 , y2 , z2 |
|
|
|
|
A x1 |
, y1 , z1 |
|
, то координаты вектора вычисляются по |
|
|
|||||
формулам: |
|
|
|
|
|
|
|
a AB x2 x1, y2 y1, z2 |
z1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||
Число, равное длине вектора, называется его модулем. Обозначают:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
|
x )2 |
( y |
|
y )2 |
(z |
|
z |
)2 |
|
a |
AB |
2 |
2 |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|||
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным |
|||||||||||
вектором или ортом. Обозначают: |
|
|
|
|
a |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
a0 |
e |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
a |
|||||||||
Два вектораa |
|
называются ортогональными, если угол |
|||||||||
и |
|||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
между |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ними р вен 90. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым. |
|||||||||||
Если векторы AB и CD – коллинеарные и их концы направлены в одну сторону, то векторы называются
сонаправленными. В противном случае коллинеарные векторы называются противоположно направленными.
Записывают:ab–есливекторыaиbсонправле
abab
и–если,пртивплжонапрвле
b |
|
d |
N |
a |
D |
|
|
B |
c |
P |
|
C |
|
M |
|
A |
|
|
K |
ab ABCDcd MNPK
Два вектора a и b называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Записывают: a b .
се нулевые векторы считаются равными
Линейные операции над векторами
Вычитание векторов |
b |
|
c a b
a
Умножение вектора на число
Произведением вектора a на число 0
называется вектор, длина которого a , а направление совпадает с направлением вектора a при 0 и
противоположно ему при 0 .
2a
a 
2a
иумножении вектора на (-1) получается противоположный вектор
a = ( 1) a
сли два ненулевых вектора коллинеарны, то один из них можно ыразить через другой
b a
Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и направление.
Действия над векторами в координатной форме
Пусть a ={ ax , ay , az }, b={bx ,by ,bz }.
1. Сложение |
|
|
|
|
|
ax bx ;ay by ;az bz |
|
векторов |
a |
|
b |
||||
2. |
Вычитание векторов |
||||||
|
|
|
|
b ax bx ; ay by ;az bz |
|||
3. |
|
|
a |
||||
Умножение вектора на число |
|||||||
ba = { ax , ay , az }
4.Линейная комбинация векторов
a b ax bx ; ay by ; az bz
Условие коллинеарности векторов в координатной форме Если два вектора коллинеарны, то
|
|
|
|
|
bx |
|
b a тогда |
||||||
|
||||||
|
|
|
|
|
by |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bz |
|
ax |
ax |
|
ay |
az |
|
|
откуда bx |
|
|
bz |
|
ay |
by |
||||
az |
|
|
|
|
|
Координаты коллинеарных векторов пропорциональны.
Расстояние между двумя точками
Если требуется найти расстояние |
между точкамиA(x ; y ; z ) и |
|||||||||||||||||||
B(x2 ; y2 ; z2,)то можно образовать вектор |
|
1 |
1 |
1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
AB x |
|
x ; y |
|
y ; z |
|
z |
и найти его длину по известной |
|||||||||||||
|
2 |
1 |
|
2 |
1 |
|
|
2 |
1 |
формуле |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
d |
AB |
|
(x |
2 |
x )2 ( y |
2 |
y )2 |
(z |
2 |
z )2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|||
Пример. Найти расстояние между точкамиA(5; 3;1) и B(3;6; 2) Решение. Образуем вектор, соединяющий точки, и найдем его дл
AB 3 5;6 ( 3); 1 2 2;9; 3
d AB 
( 2)2 92 ( 3)2 
4 81 9 
94
A(-1,2,-2) B(2,0,6) C(3,3,-4) D(-2,4,2).
|
1) Найти модуль вектора |
|
; |
|
|
3BC 2DA |
|
|
|
|
|
|
: |
|
Находим координаты векторов |
, |
DA |
||
|
BC |
|
||
BC {3 2, 3 0, 4 6} {1, 3, 10} |
|
|
|
|
DA { 1 ( 2), 2 4, 2 2} {1, 2, 4} |
|
|
|
|
Находим координаты векторов |
, |
2DA |
|
|
|
3BC |
|
||
3BC : 3 {1, 3, 10} {3, 9, 30}
2DA 2 {1, 2, 4} {2, 4, 8}
Находим разность векторов :
3BC 2DA {3 2, 9 ( 4), 30 ( 8)} {1, 13, 22}
Находим модуль вектора :
| 3BC 2DA| 
12 132 ( 22)2 
654
Базисом векторного пространства называется совокупность линейно независимых векторов, количество которых определяется размерностью пространства. Любой небазисный вектор является линейной комбинацией базисных.
В двумерном пространстве на плоскости будет два базисных вектора
a и , bа любой третий вектор равен их линейной комбинации.
Такой вектор является диагональю параллелограмма, |
|
построенного |
b |
на векторах a |
и |
ca b
Втрехмерном пространстве – три базисных вектора, а любой четвертый
можно представить в видеd a b c
Выражения вида c a b , d a b c
называются разложениями вектора по базису, а коэффициенты разложения - координатами вектора в данном базисе.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что векторы ā1, ā2, …, āk линейно зависимы, если существуют числа (коэффициенты линейной комбинации) 1, 2, …, k , не все равные нулю и такие, что линейная
комбинация векторов
1 · ā1+ 2 · ā2+ …+ k · āk
равна нулевому вектору ō.
Если равенство 1 · ā1+ 2 · ā2+ …+ k · āk = ō возможно только при условии 1= 2= …= k=0, то векторы ā1,
ā2, …, āk называют линейно независимыми. Теорема. Векторы ā1, ā2, …, āk линейно зависимы
тогда и только тогда, когда хотя бы один из них линейно выражается через оставшиеся.
Замечание. Часто в качестве определения линейно зависимых векторов берут формулировку теоремы.