§4. Цилиндрические поверхности
Цилиндрическая поверхность-это поверхность, которую описывает прямая линия (образующая), которая оставаясь параллельно самой себе движется вдоль некоторой кривой, называемой направляющей. По названию направляющей получают свое название и цилиндры.
Если образующая параллельна какой-либо оси координат, то каноническое уравнение цилиндра не содержит в уравнении соответствующую переменную. В этом случае уравнение цилиндра повторяет уравнение своей направляющей. Вариантов различных уравнений цилиндров достаточно много.
Для построения цилиндра нужно построить направляющую в той плоскости, в которой она задана, а затем «тянуть» эту линию вдоль той оси, Признакикоординатауравнениякоторойцилиндрическойотсутствует в уравнповерхности:нии.
В уравнении цилиндрической поверхности отсутствует одна переменная.
|
|
Виды цилиндров |
|
Круговые цилиндры: |
|
||
Направляющей линией является окружность. |
|
||
x2 y2 |
R2 ось симметрии OZ |
|
|
y2 z2 |
R2 |
ось симметрии OX |
|
x2 z2 R2 |
ось симметрии OY |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
исунке изображен цилиндр с осью симметрии OZ.
троения цилиндра строим окружность радиуса R в плоскости XOY, «превращаем» эту окружность в цилиндр, вытягивая си симметрии.
построить цилиндр и таким способом: нарисовать две или несколь вых окружностей параллельных друг другу на разной высоте, соединить их образующими параллельными оси симметрии.
Эллиптические цилиндры
Направляющей кривой являются эллипсы
x2 |
|
y2 |
|
1 ось симметрии OZ |
|
|
|||||||
a2 |
b2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
|
|
z |
|
1 |
ось симметрии OX |
|
|
|||||
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||||
b |
|
|
c |
|
|
|
|
|
|||||
x2 |
|
|
|
z2 |
|
1 |
ось симметрии OY |
|
b |
||||
a2 |
c2 |
|
a |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я построения цилиндра строим эллипс с полуосями a и b лоскости XOY, а затем «превращаем» этот эллипс в цилиндр, тягивая вдоль оси симметрии.
нешнему виду при схематическом построении эллиптический и говой цилиндры выглядят одинаково.
|
|
|
|
|
|
|
|
Построить поверхности |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x2 z2 2z |
|
y |
2x x2 |
|
|
|
|||||||||||
авнении отсутствует переменная y.В уравнении отсутствует |
|
|
||||||||||||||||
круговой цилиндр с осью |
переменная z. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
метрии OY. Приводим уравнение |
Это круговой цилиндр с осью |
|||||||||||||||||
ноническому виду |
|
симметрии OZ. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x2 z2 |
2z 0 |
Приводим уравнение к |
|
2 |
||||||||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
2z 1 1 0 |
|
|
|
|
y |
2 |
2x |
x |
||||
x |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
каноническому виду |
|
|
|
|
|||||||||||||
x2 (z 1)2 1 0 |
x2 |
y2 |
2x |
y 0 |
|
|
||||||||||||
x |
2 |
(z |
1) |
2 |
1 |
(x 1)2 |
y2 |
1, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
O' (0;0;1) |
R 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правая |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
половинка |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
цилиндра |
|
|
|||
Гиперболические цилиндры
Вкачестве направляющей этих цилиндров служит гипербола.
|
x2 |
|
|
y2 |
1 ось симметрии OZ |
|
x2 |
y2 |
1 |
||
a2 |
|
|
b2 |
|
|
a2 |
b2 |
|
|||
y2 |
|
|
z2 |
|
1 ось симметрии OX |
|
|
|
|
||
b2 |
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
||
x2 |
|
|
z2 |
1 ось симметрии OY |
|
|
|
|
|||
a |
2 |
|
c |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
построении гиперболических цилиндров обязательно нужно вильно определить мнимую и действительную оси гиперболы и ось метрии самого цилиндра.
Параболические цилиндры |
|
Направляющей этих цилиндров является парабола. |
|
x2 |
x2 2 py |
2 py |
|
|
ось симметрии OZ |
y2 |
2 px ось симметрии OZ |
y2 |
2 pz ось симметрии OX |
z2 |
2 py ось симметрии OX |
x2 |
2 pz ось симметрии OY |
z2 |
2 px ось симметрии OY |
построении цилиндра нужно определить основные параметры пар |
|
динаты вершины, ось симметрии и направление ветвей, построить |
|
болу, а затем уже строить цилиндр с соответствующей осью симм |
|
Построить поверхности
1)3z 6 y2 y2 6 3z
y2 3(z 2)
ь цилиндра – OX,
правляющей является парабола сью симметрии OZ , смещенной
2 единицы вверх по оси OZ вершиной ветвями, направленными вниз, ршина O' (0;0;2)
2) y 5 x2
x2 y 5
Ось цилиндра – OZ, направляющей является парабола с осью симметрии OY, вершинойO' (0в;5точке;0)
и ветвями, направленными вправо 
Построить поверхности
3)z 1 x2Ось цилиндра – OY, |
|||
|
|
направляющей является парабола |
|
|
2 |
с осью симметрии OZ, вершиной |
|
x |
|
z 1в точке |
O' (0;0;1) |
|
|
и ветвями, направленными вверх |
|
4)z 
4 y, z2 4 y
z2 ( y 4),
сь цилиндра – OX, направляющей является арабола с осью симметрии OY, вершиной точке O' (0;4;0)
ветвями, направленными влево
z 0
Верхняя
половинка