Аналитическая геометрия в пространстве
Преподаватель:
Филипенко Николай Максимович
доцент ОМИ ШБИП ТПУ
Раздел «Аналитическая геометрия в пространстве» курса «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» включает две основные темы:
1.Плоскость и прямая в пространстве
2.Поверхности 2-го порядка
§ Плоскость
1. Общее уравнение плоскости
ЗАДАЧА 1. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0;y0;z0), N {A,B,C}
Вектор,перпендикулярноперпендикулярныйвектору плоскости, называют
нормальным вектором этой плоскости.
N
M 0 
M r0
r
O
Уравнения |
r r0 , |
|
0 |
(1*) |
||||
N |
||||||||
и |
A(x x0 ) B( y y0 ) C (z z0 ) 0 |
(1) |
||||||
называют уравнением плоскости, проходящей через точку |
||||||||
M 0 (x0 , y0 ,z0 ) перпендикулярно вектору |
|
{A,B,C} (в |
||||||
N |
||||||||
векторной и координатной форме соответственно). |
|
|||||||
Уравнения |
r , |
|
D 0 |
(2*) |
||||
N |
||||||||
и |
Ax By Cz D 0 |
(2) |
||||||
называют общим уравнением плоскости (в векторной и координатной форме соответственно).
ВЫВОДЫ:
1) Плоскость является поверхностью первого порядка. В общем случае она задается уравнением Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C,D – числа.
2) Коэффициенты A, B, C не обращаются в ноль одновременно, так как с геометрической точки зрения это координаты вектора,
перпендикулярного плоскости.
|
|
|
1. Плоскость |
|
|
|||||
Основные уравнения плоскости |
|
|
||||||||
1. Уравнение плоскости, проходящей через |
|
|||||||||
заданную0 0 |
точку0 0 |
|
|
|
||||||
M |
(x |
; y ; z ) |
|
|
|
|||||
перпендикулярноN A; B;C |
N A; B;C |
|
||||||||
заданному вектору |
(z z0 ) 0 |
|
||||||||
A(x x0 ) B( y |
y0 ) C |
|
|
|||||||
2. Общее уравнение плоскости |
M0 (x0 ; y0 ; z0 ) |
|
||||||||
Ax By Cz D |
0 |
|
|
|||||||
N A; B;C |
- вектор нормали |
Z |
|
|||||||
c |
|
|||||||||
3. Уравнение плоскости « в отрезках» |
|
|||||||||
b |
|
|||||||||
|
x y z 1 |
|
Y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
c |
X |
a |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения плоскости 4. Уравнение плоскости, проходящей через три
M |
(x ; y ; z ) |
M |
(x |
; y |
; z |
) |
M (x ; y |
; z |
) |
заданные точки 1 |
1 1 1 |
,2 |
2 |
2 |
2 |
|
и3 3 3 |
3 |
|
N A; B;C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M (x; y; z) |
|
M1M x x1; y y1; z z1 |
|||||||
|
M 2 (x2 |
|
|||||||
|
; y2 ; z2 ) |
M1M 2 |
x2 x1; y2 y1; z2 z1 |
||||||
M1 (x1; y1; z1 ) |
|
|
|
||||||
M3 (x3 ; y3 ; z3 ) |
M1M3 x3 x1; y3 y1; z3 z1 |
|
Условие компланарности векторов (M1M M1M 2 M1M3 ) 0
x x1 |
y y1 |
z z1 |
|
0 |
|
||||
x2 x1 |
y2 y1 |
z2 z1 |
|
|
x3 x1 |
y3 y1 |
z3 z1 |
|
|
Если в уравнении плоскости отсутствует одна переменная, то плоскость проходит параллельно той оси координат, переменной которой нет в уравнении.
Если в уравнении плоскости отсутствует свободный член, то плоскость проходит через начало координат.
Если в уравнении плоскости отсутствуют две переменные, то плоскость проходит параллельно координатной плоскости, переменных которой нет в уравнении.
Уравнения координатных плоскостей
x 0 y 0
z 0
-уравнение плоскости YOZ
-уравнение плоскости XOZ
-уравнение плоскости XOY
Взаимное расположение плоскостей
1. Условие параллельности плоскостей N1 A1; B1;C1
N1 || N2 |
|
A1 |
|
B1 |
|
C1 |
|
|
|
A2 |
B2 |
C2 |
|
N2 A2 ; B2 ;C2 |
|||
2. Условие перпендикулярности плоскостей |
N1 |
|||||||
N1 N2 |
(N1 N2 ) 0 |
|
|
|
N2 |
|||
|
A1 A2 B1 B2 C1 C2 0 |
|||||||
|
|
|||||||
3. Косинус угла между плоскостями
Угол между плоскостями – это угол между векторами нормалей этих плоскостей
cos cos(N1 |
,N 2 ) |
|
A1 A2 B1 B2 C1 C2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A2 |
B2 |
C 2 |
|
A2 |
B2 |
C 2 |
|
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
2 |
2 |
2 |
|
Составление уравнений плоскости
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
M0 ( 1;3; 5) a 3; 2;4
перпендикулярно вектору Исходное уравнение:
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Подставляем координаты точки и вектора
3(x 1) 2( y 3) 4(z 5) 0
Раскрываем скобки
3x 3 2 y 6 4z 20 0
Приводим подобные
3x 2 y 4z 29 0
Получили общее уравнение плоскости.
Решение типовых задач
1.а) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
|
параллельно двум векторам |
b 3;0; 4 |
||
M0 ( 1;3; 5) |
и |
|
||
b |
a 2; 7;5 |
|
|
|
N |
Используем уравнение |
|
||
a |
|
|||
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Координаты точки нам известны. Необходимо найти |
|||||
координаты вектора нормали. Из рисунка видно, что в качестве |
|||||
вектора нормали можно взять вектор, являющийся векторным |
|||||
произведением данных в условии задачи векторов, так как |
|||||
такой вектор перпендикулярен каждому из данных векторов, а |
|||||
значит перпендикулярен |
|
и плоскости. |
|
||
|
|
||||
i |
j |
k |
|
|
Итак, N 28; 7; 21 |
N a b 2 |
7 |
5 |
|
28i 7 j 21k |
|
3 |
0 |
4 |
|
|
|
Подставляем все данные в уравнение плоскости |
|||||
28(x 1) 7( y 3) 21(z 5) 0 |
4(x 1) ( y 3) 3(z 5) 0 |
||||
4x y 3z 8 0