Добавил:

PickyEater13 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Математика / АГ-1.pptx

Скачиваний:

Добавлен:

27.11.2024

Размер:

925.94 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Кривые 2-го порядка

Общее уравнение прямой на плоскости – есть уравнение линейное относительноx переменныхy и

Ax By C 0

Уравнение кривой 2-го порядкаAx2 2Bxy Cy2 Dx Ey F 0

Ax2 2Bxy Cy2	квадратичная часть
Dx Ey F 0	линейная часть

В дальнейшем. будем рассматривать уравнения кривых, в которых отсутствует произведениеxy

Ax2 Cy2 Dx Ey F 0

К кривым 2-го порядка относятся :

окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Основная задача состоит в умении по уравнению определить тип кривой, привести само уравнение к каноническому виду и построить кривую в системе координат.

1. Окружность

Определение. Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром

Уравнение окружности с центром в начале координат

x2 y2 R2

Уравнение окружности со смещенным центромO' (x0 ; y0 )

(x x0 )2 ( y y0 )2 R2

В!уравнение окружности входят квадраты переменных, причем коэффициенты при квадратах и знаки при них одинаковые.

	Y	Y
	Y
		y0
O		X	O'
O		X	X
		O	X
		O	x0

2. Эллипс

Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами , есть величина

постоянная, равная длине большой оси .

Каноническое уравнение эллипса

b B1

M (x; y)

1, причем

cF1

b2 c2

A (a;0)

A ( a;0)

F (c;0)

F ( c;0)

вершины эллипса

(0; b)

B1 (0;b)

большая ось эллипса

фокусы эллипса

A1 A2 2a

F F 2c

B1B2 2b

малая ось эллипса

1 2

фокусное расстояние

В уравнение эллипса входят квадраты переменных, !причем знаки при квадратах одинаковые, а коэффициенты при квадратах разные.

Разновидности эллипса

Уравнение эллипса со смещенным центром

	(x x0 )2		( y y0 )2	1				Y
	a2		b2	1		b
	a2		b2			b			X
						x0	y0		X
	O' (x	; y )			a	x0	y0		a
	O' (x	; y )			a	O'			a
	0	0 - центр эллипса
						b
Если в уравнении эллипсаb a, то большой осью будет ось
B1B2	2,bфокусы эллипса будут						B	b
	лежать на этой оси и связь						1
	между параметрами эллипса						F1.c
	будет такой:					a	O		a
		b2 a2 c2				a	O		a
							2.		c
							F		c
							F
							B2	b

Построение эллипса

1. Построить эллипсx2 y2 1

4 2

Для построения эллипса нужно знать координаты центра и размеры полуосей aи b

Центр эллипса O(0;0)				2	Y
Полуоси a2	4 a 2,		.2	2
b2	2 b 2				X
Расстояние между фокусами		2		O	.2 2
c2 a2 b2 4 2 2,
c 2 , т.е. 2c 2 2				2

Можно найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом по формул

S a b

Для данного примера получимS 2 2 22

2. Построить эллипс9x2 5y2 45

Для получения канонического уравнения делаем некоторые преобразования:

1) Делим все члены уравнения на 45, так чтобы получит едини в правой части уравнения

9x2

5y2

2) Убираем в знаменатель коэффициенты из числителей

45 / 9

45 / 5 1

Получили уравнение эллипса, из которого определяем положение

центра и размеры полуосей

- центр эллипса

O(0;0)

a 5,

- полуоси

5 O

b 3

b a

3) Строим эллипс

3. Построить кривую		9 4 y2
	x 1	9 4 y2	Y
			Y
1. (x 1)2 4 y2 9
2.	x 1 9 4 y2	a	b
3.	(x 1)2 9 4 y2	a	O'	X
3.	(x 1)2 9 4 y2		1 O	X

4. (x 1)2 4 y2 9

5.	(x 1)2	4 y2	1	(x 1)2	y2	1
	9	9		9	9 / 4

Таким образом, центр эллипса имеет координатыO' ( 1;0) Полуоси эллипса

a2	9	a 3,	, т.е. a b
b2	9 / 4	b 3 / 2	, т.е. a b

При построении необходимо учесть, что уравнение определяет Только правую половинку эллипса, так как по условию имеемx 1

4. Построить кривую3x2 6x 2 y2

2 y 0

Данное уравнение определяет эллипс, так как есть

квадраты

переменных, знаки при которых одинаковые, а

коэффициенты

различные. Кроме того, наличие линейной части

уравнения

x0 )

( y y0 )2

означает, что центр эллипса смещен от начала

координат.

пользуем прием выделения полного квадрата согласно формуле

Приводим уравнение к каноническому виду

b)2 a2

2 a

1. 3(x2 2x) 2( y2 y) 0

3(x2 2x 1 12 12 ) 2( y2

2 y 1/ 2 (1/ 2)2 (1/ 2)2 ) 0

1/ 2

3[(x 1)2

1] 2[( y

1/ 2)2 1/ 4]

3(x 1)2

2( y 1/ 2)2 3 1/ 2 0

5. 3(x 1)2 2( y 1/ 2)2 7 / 2

6. 3(x 1)2

2( y 1/ 2)2

(x 1)

( y 1/ 2)2

7 / 2

7 / 6

7 / 4

центр,

O' ( 1;1/ 2)

полуоси

7 / 6

3. Гипербола

Определение. Гиперболой называется множество точек
	плоскости, разность расстояний которых до двух
	данных точек, называемых фокусами ,по абсолютной
	есть величина постоянная, равная длине2a
	действительной оси .
Каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат
			x2	y2	1
В этом случае			a2	b2

	действительная полуось
	a	мнимая полуось
	b
Фокусы гиперболы всегда лежат на действительной оси.
вязь между параметрами гиперболы определяется соотношением
		c2 a2		b2
!	В уравнение гиперболы входят квадраты
	переменных, причем знаки при квадратах
	разные.
	Асимптоты гиперболы – это прямые к которым

гипербола неограниченно приближается на бесконечности.

Построение гиперболы		x2	y2
					1
		2	b	2	1
		a	b
Для построения гиперболы удобно пользоваться
вспомогательными построениями.
1. В системе координат строим прямоугольник с						2a 2b
размерами
на осях OX и OY соответственно.
2. Проводим диагонали этого прямоугольника.
Уравнения диагоналей – это уравнения асимптот
гиперболы	y b x
	a

3. На действительной оси отмечаем вершины гиперболы и
Y			Y			Y
от них			Y			b
b				.		b
ведем ветви гиперболы к асимптотамb				.
a	a X	a	a X c		a	a c X
b			b			b