Добавил:

PickyEater13 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

Физика общая

Файл:

3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ТЕМУ ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.11.2024

Размер:

560.91 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

(1)

системе, идет наA , совершаемую

ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ

Краткая теория

Первое начало термодинамики – это закон превращения и сохранения энергии.

Математическая формулировка первого начала термодинамики записывается так:

Q U A

и читается так: количество тепла Q , сообщенное

изменение внутренней энергии U системы и на работу системой против внешних тел.

Система в термодинамике может состоять из нескольких тел, но может и из одного тела. Телом можно назвать воздух, воду, ртуть, любой газ, т.е. любое вещество, занимающее определенный объем. Очень часто таким телом является идеальный газ.

Количество тепла Q , подведенное к системе, ни в коем случае нельзя понимать как разность каких-то количеств тепла в конечном и начальном состояниях системы (или тела, если система состоит из одного тела), потому что бессмысленно говорить о запасе тепла, заключенного в теле. Q - это просто количество теплоты, сообщенного телу или системе тел.

Все сказанное о Q также относится к A . A - работа, совершаемая силами, приложенными со стороны системы к внешним телам.

Например, газ находится под поршнем. Если газ будет расширяться, то он будет приподнимать поршень, т.е. совершать работу.

U - изменение внутренней энергии системы. U =U2-U1, где U1- внутренняя энергия системы в каком-то состоянии 1, а U2- в состоянии 2.

Если речь идет о бесконечно малом количестве теплоты dQ, сообщенном системе, о бесконечно малом изменении внутренней энергии dU системы и о бесконечно малой работе dA, то первое начало термодинамики записывается

в виде
dQ=dU+dA		(2)
Разберем более подробно, как рассчитывать Q ,	U	и A . Практически во

всех задачах рабочим телом является идеальный газ.

Внутренняя энергия U идеального газа – это сумма кинетических энергий всех его молекул, она выражается формулой

U	m	i	RT ,	(3)
	2

где m-масса газа, μ-масса моля, тогда m -число молей, R- универсальная

газовая постоянная, T- температура газа, i-число степеней свободы. Изменение внутренней энергии

U	m	i	R T ,	(4)
	2

где Т – изменение температуры.

Числом степеней свободы i называется наименьшее число независимых

координат, которые необходимо ввести и чтобы определить положение тела

в пространстве.

Рассмотрим одноатомный газ.

молекулу такого газа можно считать материальной

точкой, положение которой в пространстве (см.

рис.1)

определяется

тремя

координатами.

Для

молекулы

одноатомного

газа

число

степеней

свободы i=3.

Рис.1

Рассмотрим двухатомный газ.

В двухатомной молекуле каждый атом принимается

за материальную точку и считается, что атомы

жестко связаны между собой. Это гантельная

модель двухатомной молекулы.

Положение

ее

центра

масс

задается

тремя

координатами, это уже три степени свободы, они

Рис.2

определяют

поступательное

движение

молекулы.

Но молекула может совершать и вращательные

движения вокруг осей ox и oz (см. рис.2), это еще две степени свободы,

определяющие вращательное движение молекулы. Вращение молекулы

вокруг оси oy невозможно, так как материальные точки не могут вращаться

вокруг оси, проходящей через эти точки. Для молекулы двухатомного газа

число степеней свободы i=5.

Рассмотрим трехатомный газ. Модель молекулы – три

материальные точки, жестко связанные между собой (см. рис.3).

Для молекулы трехатомного газа число степеней свободы i=6, из

них три степени свободы определяют поступательное движение

Рис.3

молекулы, а три – вращательное.

Закон о распределении энергии по степеням свободы утверждает, что на

каждую степень свободы молекулы приходится одно и то же количество

энергии, равное 1 kT .

Следовательно, молекула, имеющая i степеней свободы, обладает энергией:

E i kT

,(5)

где k-постоянная Больцмана, T-абсолютная температура газа. Постоянная

Больцмана k связана с универсальной газовой постоянной R и числом

Авагадро N соотношением:

(6)

Рассмотрим, как рассчитывать работу идеального газа при различных

процессах.

При бесконечно малом изменении объема газа dV можно считать, что

давление p газа остается неизменным и бесконечно малая работа газа при

этом выражается формулой

	dA=pdV	(7)
При конечном измерении объема газа от V1 до V2 работа
	V2
	A pdV .	(8)
	V1
p	При изобарическом процессе давление	газа остается
	постоянным, p=Const, и работа

V1 V2

Рис.4

постоянной

A p(V1 V2 )

(9)

VCтроим график процесса в координатах p,V (см. рис.4). Работа А графически выражается площадью

заштрихованного прямоугольника.

При изотермическом процессе, т.е. процессе, идущем при температуре, работа

(10)

A RT ln

V ,

Графически

работа

изотерма

выражается

заштрихованной

площадью

под

изотермой (см. рис.5).

При изохорическом

процессе

объем

V=Const

изменении

объема

Рис.5

газа

равно

нулю.

Следовательно,

согласно формулам

(7)

и (8)

работа А газа

при

изохорическом процессе равна нулю.

При адиабатическом процессе, т.е. в процессе, идущем без теплообмена с окружающей средой, соотношение между параметрами p, V и T выражено соотношениями

			pV Const							(11)
или
		TV 1 Const								(12)
или
				1

			Tp Const							(13)
где γ-коэффициент Пуассона,
					i 1		,			(14)
							,			(14)
						i
где i – число степеней свободы рассматриваемого газа.
Работа при адиабатическом процессе выражается формулой
	m			V1				1
	m	RT1		V1
A			1						,	(12)
A			1						,	(12)
		1		V 2

При политропическом процессе, при котором давление и объем идеального газа связаны соотношением

				pV n Const ,			(13)
где n – показатель политропы, работа выражается формулой
	p V		V		n 1
A	1 1			1		,	(14)
		1
	n 1	1	V
	n 1		V
			2

Количество теплоты ∆Q, сообщенное газу, рассчитывается по формуле

		Q	m	C T ,	(15)
		Q		C T ,	(15)

где	m	-число молей, С – молярная теплоемкость, Т –			изменение
где		-число молей, С – молярная теплоемкость, Т –			изменение

температуры.
Молярная С и удельная с теплоемкости связаны соотношением
		С=μс,			(16)

где μ-масса моля.

Для нагревания одной и той же массы газа до одной и той же температуры требуется различное количество тепла в зависимости от того, нагревается газ при постоянном объеме или при постоянном давлении.

Молярная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме

R ,

(17)

V	2

где i – число степеней свободы молекулы газа, R – универсальная газовая постоянная.

Молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении

C p		i 2	R ,	(18)
C p			R ,	(18)
	2
или
Ср=СV+R				(19)
Соотношение
Cp-CV=R				(20)

Называется формулой Майера.

Для адиабатического процесса ∆Q=0.

Для политропического процесса ∆Q рассчитывается по формуле (15), молярная теплоемкость идеального газа в политропическом процессе рассчитывается по формуле

C R	n	,	(21)
	( 1)(n 1)

где R – универсальная газовая постоянная, n – показатель политропы, γ-коэффициент Пуассона.

При решении задач может быть полезно выражение для показателя политропы

n	C p C		,	(2)

	C	C
	V

где Ср и СV – молярные теплоемкости идеального газа при постоянном давлении и постоянном объеме соответственно, С – молярная теплоемкость идеального газа при политропическом процессе.

Методические указания

процес

изохоричес	кий
изобарический
изотермический

адиабатный
политропическ	ий

При решении задач удобно пользоваться следующей таблицей, в которую сведены формулы, требующиеся при рассмотрении того или иного процесса.

Таблица.

характе-

соотношение

подведенное

внутренняя

работа,

совершаемая

ристика

между

тепло

энергия

системой

процесс

параметрам

∆Q

∆U

CV T

V=Const

Const

∆U=∆Q

A=0

m i

R T

C p T

dA pdV

P=Const

Const

C p

i 2

или

A p(V2

V1)

CV T

pV Const

T=Const

∆Q=A

∆U=0

RT ln

Const

TV 1 Const

m RT

∆Q=0

Const

∆Q=0

i 2

Const

G T

n 1

Const

m i

R T

p V

n 1

1 1

___

1 n

C R

n 1

Const

( 1)(n 1)

При решении задач следует пользоваться системой единиц измерения СИ.

Значение универсальной газовой постоянной в СИ: R 8,3 103			Дж	.

			кмоль К

Используя это значение R, массу m надо измерять в кг, а μ в	кг	. Значение

	кмоль

μ берется из таблицы «Периодическая система элементов Д.И. Менделеева», например для двухатомного газа кислорода О2.

μ=32 кмольДж .

В СИ количество теплоты, энергия и работа измеряются в джоулях (Дж). Следует также помнить, что изменение температуры по шкале Кельвина равно изменению температуры по шкале Цельсия, т.е. ∆T=∆t.

Примеры решения задач

Задача 1

200 г азота нагревают при постоянном давлении от 200С до 1000С. Какое количество теплоты поглощается при этом? Чему равно изменение внутренней энергии газа? Какую работу производит газ?

Дано:							Решение:
m=200г=0,2кг				Процесс, идущий при постоянном
t1=200C				давлении, - это изобарический
t2=1000C				процесс.			При	изобарическом
μ=28	кг			процессе			количество		теплоты,
	кмоль		Дж	проведенное к данной массе m азота,
R=8,3·103				вычисляется				по	формуле

		кмольК
				Q	m	C p T .
∆Q=? ∆U=? ∆A=?

Массу μ киломоля азота N2 находим в таблице «Периодическая система элементов Д.И. Менделеева», молярная теплоемкость при постоянном

давлении C p

i 2

R , где i- число степеней свободы. Для двухатомного газа

азота i=5. Измерение внутренней энергии газа

вычисляется по формуле

R T , а работу,

произведенную газом,

можно найти,

используя

математическую формулировку первого начала термодинамики

Q=ΔU+ΔA,

отсюда

A=ΔQ- U. Подставим численные значения в выражения для Q, U

0,2

8,3 103 80 Дж 1,66 104 Дж ,

U 028,2 52 8,3 103 80 Дж 1,18 104 Дж , A (1,66 104 1,18 104 ) Дж 4,8 103 Дж Ответ: 1,66 104 Дж , 1,18 104 Дж , 4,8 103 Дж

Задача 2

Необходимо сжать 1 10 2 м3 воздуха до объема в 2 10 3 м3 . Как выгоднее его сжимать: адиабатически или изотермически?

Дано:

Решение:

V1 1 10

Работа при адиабатном процессе

выражается формулой

V 2 10 2 м3

m RT1

ад

Aад

из

где Т1 - температура, при которой начинается сжатие, γ – коэффициент

Пуассона,	i 2	. Воздух состоит в основном из азота N2, его в воздухе
	i

немного больше 78%, кислорода O2, его в воздухе ≈21% и ряда других газов: углекислый газ, аргон, гелий, неон, озон, которые присутствуют в малом количестве. Азот и кислород – двухатомные газы, поэтому можно считать, что для воздуха число степеней свободы i=5. работа при изотермическом

RT1

Aад

сжатии A

RT ln

. Отношение работ

из

RT1 ln

10 2

0,4

2 10 3

ад

Подставляя

численные

данные

ад

1,4

Аиз

( 1) ln

Аиз

0,4 ln

2 10 3

10 2

получим

что

Аад

больше Аиз

в 1,4 раза.

Следовательно, сжимать воздух

выгоднее изотермически.

Ответ: изотермически.

Задача 3

Температура некоторой массы m идеального газа с молекулярным весом μ меняется по закону T=αV2. Найти работу, совершенную газом при увеличении объема от V1 до V2.

Дано:

T V 2

A ?

р2		2
р1	1	3
	φ
	V1	V2 V

Рис.6

Решение:

Подставим T=αV2 в уравнение состояния

идеального газа, pV	m	RT	pV	m	R V 2 .

Отсюда p m R V , по такому закону меняется

давление газа. Это уравнение прямой в координатах p, V, причем тангенс угла

наклона прямой tg m R .

Работа А графически выражается площадью заштрихованной трапеции V112V2V1 (см. рис.6). Далее задачу можно решать двумя способами, которые, естественно, приводят к одному и тому же результату.

1-й способ. Элементарная работа dA=pdV. Вся работа

R V22

V12 . Такое же выражение

A dA pdV

R VdV

для работы A

mR V 2

V 2 можно получить другим способом.

2-й способ.

Работа А численно равна площади заштрихованной поверхности, которая складывается из площади заштрихованного прямоугольника V113V2V1 и площади заштрихованного треугольника 123 (см. рис.6).

A p (V V )							1	( p	2		p )(V V ) (V V )( p									p2	p1			)		1	(V V )( p		2	p )
A p (V V )								( p			p )(V V ) (V V )( p													)			(V V )( p			p )
		1	2		1		2					1	2	1		2	1	1	2			2			2		2	1		1
							2												2			2			2
1				m						m				1			m R						1 m		R (V 2			V 2 )
	(V	V )				R V						R V			(V	V )		(V	V )
	(V	V )				R V						R V			(V	V )		(V	V )
2	2		1				2					1		2	2	1		2	1				2				2	1
2														2									2

Очевидно, что второй способ является более трудоемким. Отметим, что для осуществления процесса p m R V необходим подвод тепла, так как без

подвода тепла при расширении газа давление газа падает (уменьшается). Ответ: A 12 m R V22 V12 .

Задача 4

Один киломоль газа, находящийся при температуре Т1=300К охлаждается изохорически, вследствие чего его давление уменьшается в два раза. Затем газ изобарически расширяется так, что в конечном состоянии его температура равна первоначальной. Изобразить процесс на диаграмме p1V. Вычислить произведенную газом работу А, приращение внутренней энергии

газа U, количество поглощенного газом тепла

Дано:

Решение:

1кмоль

р1

1 (Т1)

T1 300K

,V Const

3 (Т1)

T3 T1,

p Const

R 8,3 103

Дж

кмоль К

∆Q=? ∆U=? A=?

Рис.7

Направление процесса указываем на чертеже стрелкой. Процесс 1→2 изохорический, причем, по условию задачи, p2 p21 . Процесс 2→3

изобарический, точки 1 и 3 лежат на изотерме, согласно условию задачи. Работа А складывается из работ на участках 12 и 23: A=A12+A23, но при изохорическом процессе газ не расширяется и работа газа равна нулю,

т.е. А12=0.

Тогда A=A23=p2(V2-V1)=p2V2-p2V1. Так как точки 1 и 3 лежат на одной изотерме, то согласно закону Бойля - Мариотта p1V1=p2V2 и

A p V		p V		V ( p		p	2	) V ( p			p1		)		V1 p1		. V1p1 находим из уравнения

1	1	2	1	1	1			1	1			2				2

Менделеева - Клапейрона p V										m		RT ,		m		1 по условию задачи. Тогда

								1 1					1

A RT21 .

Изменение внутренней энергии U U12 U23 . На участке 12

давление газа падает, а давление газа прямо пропорционально температуре, поэтому изменение внутренней энергии газа на участке 12

имеет знак «минус». U12 2i R T 2i R(T1 T2 ) . На участке 23

U 23 2i R T 2i R(T3 T2 ) , но точки 3 и 1 лежат на одной изотерме,

следовательно, Т1=Т3 и U 23 2i R(T1 T2 ) . Общее изменение внутренней

энергии U 2i R(T1 T2 ) 2i R(T1 T2 ) 0 . Количество тепла, поглощенного

газом, подсчитываем используя первое начало термодинамики.

Q U A . Так как U 0 , то Q A . Подставив численные значения в

формулу для А, получим A 8,3 103 300 Дж 1,25 108 Дж .

2 Ответ:. 1,25 108 Дж;0; 1,25 108 Дж .

Задача 5

Сосуд, содержащий некоторое количество азота при температуре t1=150C, движется со скоростью 100 м с . Чему будет равна температура t2 газа в

сосуде, если он внезапно остановится? Передачей теплоты стенкам можно пренебречь.

Дано:

Решение:

t1 150 C

Значение μ для азота находим в

100 м

таблице Менделеева. Так как азот N2

двухатомный газ, то число степеней

28 кг

кмоль

свободы для молекулы азота i=5. μ и i

можно

занести

в таблицу данных

R 8,3 103 Дж

задачи. Газ в сосуде обладает

кмоль К

i 5

энергией поступательного движения

t2 ?

m 2

где

масса

газа.

При

внезапной

остановки

сосуда

эта

энергия

переходит только во внутреннюю энергию газа, т.е. в энергию теплового

движения его молекул, поскольку передачей энергии стенкам сосуда можно,

по условию задачи, пренебречь.

m 2

Найдем происходящее при этом изменение температуры газа.

U , где

U – изменение внутренней энергии данной массы газа.

m i

R T

. Тогда

m 2

m i

R T

и T

m 2

. ΔT=Δt, а Δt=t2-t1

или t2=t1+Δt.

окончательно

m 2

Подставляя

численные

данные,

t2 (15

28 104

)0 C 21,730 C .

5 8,3 103

Ответ: 21,730 C

Задача 6

На графике изображены три процесса изменения состояния

газа: АВ1, АВ2 и АВ3. При переходе из первого состояния А

в одно из последующих (В1, В2 или В3) газ получает

некоторое количество теплоты.

Совершает ли газ работу и изменяется ли его внутренняя

энергия в каждом из этих процессов? Процесс АВ3 идет при

Рис.8

постоянной температуре.

Решение Рассмотрим процесс АВ1. Это процесс, при котором объем газа остается

постоянным, V=Const, т.е. изохорический процесс. При изохорическом процессе работа газа против внешних сил равна нулю, так как газ совершает работу только при своем расширении, которого в данном случае нет. Согласно первому началу термодинамики Q U A . Так как A 0 , то

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке РАЗДЕЛ №2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

#
27.11.20241.05 Mб121 Презентация лекции по теме МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ.pdf
#
27.11.2024403.4 Кб102 Конспект лекции на тему ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА.pdf
#
27.11.2024400.13 Кб112 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ТЕМУ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА.pdf
#
27.11.20241.14 Mб102 Презентация лекции по теме ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.pdf
#
27.11.2024339.75 Кб113 Конспект лекции на тему ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ.pdf
#
27.11.2024560.91 Кб113 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ТЕМУ ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ.pdf
#
27.11.20241.2 Mб113 Презентация лекции по теме ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ.pdf
#
27.11.20241.12 Mб113 Презентация лекции по теме ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ. ТЕПЛОВАЯ МАШИНА.pdf
#
27.11.2024469.91 Кб104 Конспект лекции на тему ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ.pdf
#
27.11.2024477.35 Кб114 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ТЕМУ ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ.pdf
#
27.11.20241.27 Mб104 Презентация лекции по теме ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ.pdf