Физика / 1 семестр / РАЗДЕЛ №2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА / 2 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ТЕМУ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

Распределение Максвелла. Барометрическая формула. Распределение Больцмана.

Основные формулы. Краткая теория.

1.Основные положения молекулярно-кинетической теории таковы:

1)все тела состоят из атомов и молекул,

2)между атомами и молекулами имеются силы взаимодействия,

3)атомы и молекулы находятся в вечном хаотическом движении, которое называется тепловым движением.

2.Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов можно записать формулой

где – давление газа,

n0 – концентрация молекул газа, m – масса одной молекулы газа,

кв 2 – квадрат средней квадратичной скорости молекул газа. Под средней квадратичной скоростью молекул газа понимается выражение

где R – универсальная газовая постоянная, T – абсолютная температура газа,

– молярная масса.

3.Основное уравнение молекулярно–кинетической теории газов можно так же записать в виде

n0kT

где – давление газа,

n0 – концентрация молекул газа,

k – постоянная Больцмана,

T – абсолютная температура газа.

4. В отсутствии внешних воздействий на газ, то есть если газ не находится во внешнем силовом поле, для газа справедливо распределение Максвелла

1

n – общее число молекул данной массы газа,

е– основание натурального логарифма,

– заданное значение скорости из интервала , ,

в – наиболее вероятная скорость молекул газа при данной температуре. Наиболее вероятной скоростью в называется скорость, близкой к которой обладает наибольшее число молекул данной массы газа, в

рассчитывается по формуле

2RT

в ,

где R – универсальная газовая постоянная, T – абсолютная температура газа,

– молярная масса.

его величина (более подробно см. решение задачи 7). Площадь под всей кривой пропорциональна общему числу молекул данной массы газы.

6. Формула (23) позволяет рассчитать число n молекул данной массы газа, скорости которых лежат в интервале скоростей , независимо от направления скоростей.

или

2

В формулах (24) и (25) m – масса молекулы, R – постоянная Больцмана, T –

Формулы (24) и (25) тоже являются формулами максвелловского закона распределения молекул по скорости.

7. Кроме средней квадратичной скорости кв , рассчитываемой по формуле (21), наиболее вероятной скорости в , рассчитываемой по формуле

где R – универсальная газовая постоянная, T – абсолютная температура газа,

– молярная масса.

8.Барометрическая формула (27) показывает зависимость атмосферного давления от высоты h над поверхностью земли.

yh

0e RT (27)

0 – давление на высоте h=0, т.е. давление около поверхности Земли, e – основание натурального логарифма, – молярная масса газа (воздуха), y – ускорение силы тяжести, R – универсальная газовая постоянная, T – абсолютная температура газа (воздуха), которая при выводе барометрической формулы (27) предлагалась постоянной (T=const)

9. Для случая, когда внешним воздействием на газ, точнее на смесь газов, из которых состоит воздух, является сила Земного тяготения.

Распределение Больцмана записывается в виде

где n – концентрация молекул газа на высоте h, n0 – концентрация молекул газа на высоте h=0, e – основание натурального логарифма, m – масса одной молекулы газа, y – ускорение силы тяжести, R – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура газа.

Учитывая, что потенциальная энергия молекулы на высоте h выражается формулой U=mgh , формулу (28) можно переписать в виде

3

где U U U0

Формулы (28) и (29) выражают распределение Больцмана для поля силы тяготения.

10.В отличии от формулы (28), описывающей распределение молекул в поле силы тяжести, распределения Больцмана, записанное в виде формулы (29) применимо и для частиц находящихся в произвольном потенциальном поле внешних сил.

11.Задачи рекомендуется решать в системе единиц измерения СИ. При решении задач желательно проверять размерность. Значение в СИ часто

встречающейся в задачах постоянной Больцмана R 1,38 10 23 ДжK . Для

определения молярной массы следует пользоваться «Периодической системой химических элементов» Д.И.Менделеева.

4

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

Задача 1.

В закрытом сосуде находится идеальный газ. На сколько процентов изменилось давление газа, если средняя квадратичная скорость его молекул увеличилась на 20%?

Решение.

Пусть 1 первоначальное давление газа. Согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории газов

где n0 – концентрация молекул газа, m – масса одной молекулы газа,

кв1 – первоначальная средняя квадратичная скорость молекул газа.

После того, как средняя квадратичная скорость увеличилась на 20 %, т.е.

стала равной

кв2 кв1 0,2 кв1 1,2 кв1 ,

давление газа стало равным

2 13 n0m кв2 2

или

2 13 n0m 1,2 кв1 2

Разделим (31) и (30), получим

2 1,2 2 1,44 ,

1

т.е. давление газа увеличилось и стало равным 2 1,44 1 . Рассчитаем, на сколько процентов изменилось давление газа

Ответ: на 44%

5

Задача 2.

Современная техника позволяет создать в баллоне давление, равное=10-11мм.рт.ст. Сколько молекул находится в 1 м3 баллона при 10 С, если баллон будет откачан до этого давления?

Отсюда

Ответ: 3,4 10111/м3

Задача 3.

Какое давление создается при t=0 C в сферической колбе объемом V=100 см3, если в ней распределятся молекулы кислорода, покрывающего молекулярным слоем внутреннюю поверхность колбы, и если на каждую молекулу слоя кислорода приходится площадь S=9 10-16+см2?

молекул n0 Vn , где n –общее число молекул, находящихся в объеме V

колбы. Внутренняя поверхность колбы покрытая мономолекулярным слоем газа, т.е. слоем толщиной в одну молекулу. Общее число n молекул газа можно найти, разделив площадь S1 внутренней поверхности колбы на

6

площадь S, занимаемую одной молекулой слоя кислород, покрывающего внутреннюю поверхность колбы.

Ответ: 4,39Па

Задача 4.

Определить среднюю квадратичную скорость молекул кислорода,

где R – универсальная газовая постоянная, T – абсолютная температура газа,

– молярная масса газа. Из уравнения Менделеева–Клапейрона V m RT

найдем отношения T .

7

Ответ: 470м/с

Задача 5.

При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул кислорода равна таковой же скорости молекул азота при температуре 100 С?

где T1 – абсолютная температура газа кислорода, и 1 – молярная масса

кислорода.

Средняя квадратичная скорость молекул азота рассчитывается по аналогичной формуле

кв 3RT2 ,

2 2

где T2 2 – абсолютная температура и молярная масса газа азота. По условию задачи кв1 кв2

8

Используя соотношение Т=273+t, находим температуру t1 газа O2 по шкале Цельсия

t1=T1-273 или t1=(426-273) С=153 С

Ответ: 153 С

Задача 6.

Какая часть молекул азота при 150 С обладает скоростями от 300 м/с до 325 м/с?

данной температуре. Сначала рассчитаем наиболее вероятную скорость молекул азота при заданной температуре. Наиболее вероятная скорость

постоянная, T– абсолютная температура газа, – молярная масса. Молярную массу азота N2 находим по таблице «Периодическая система химических элементов» Д.И.Менделеева. Подставив численные в формулу для наиболее вероятной скорости, получим

325 м/с, например =300м/с. Подставим численные значения

9

абсцисса, соответствующая максимуму графика?, 2) Как изменится вид кривой распределения, если температуру газа изменить до температуры Т2>Т1? 3) Как изменится наиболее вероятная скорость молекул газа, если температура газа увеличится в четыре раза?

Решение:

1) Абсцисса, соответствующая максимуму графика, показывает наиболее вероятную скорость в молекул газа, то есть скорость, близкой к которой

обладает наибольшее число молекул данной массы газа. Наиболее вероятная скорость рассчитывается по формуле,

2RT

в

где R – универсальная газовая постоянная, T – абсолютная температура, – молярная масса газа.

2) C повышением температуры максимум кривой распределения сдвигается

10