Физика / 1 семестр / РАЗДЕЛ №1. МЕХАНИКА / 7 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ТЕМУ ДВЖЕНИЕ ТЕЛ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЁТА

y'

a

Имеем две системы отсчета: инерциальную –

систему К и неинерциальную – систему К΄.

y

K'

НСО

В момент t = 0 начала координат систем К и К′

совпадают.

rн

K

rи

Система К′

начинает двигаться относительно К

с ускорением

0'

x'

a .

В

момент

t

скорость

движения системы

К΄

r0'

0

x

относительно системы К: v0'

at .

ИСО

Если rи – радиус-вектор материальной точки в

системе К,

rн

–

радиус-вектор

материальной точки

в

системе К',

r0 – радиус-вектор начала координат системы К'

в системе К,

то rи

r0 rн .

где

– ускорение

материальной точки относительно неинерциальной

aн

системы

отсчета,

– ускорение материальной точки относительно

aи

–

ускорение неинерциальной системы

инерциальной системы отсчета, a

отсчета относительно инерциальной системы отсчета.

Умножим полученное выражение

ан

aи

а на массу материальной

точки:

mан

maи mа . Так как относительно инерциальной системы

отсчета законы Ньютона выполняются, то

maи F – векторная сумма сил

взаимодействия материальной точки с другими

телами

(реальные

силы),

величина

имеет

размерность

силы, поэтому эта

величина

носит

( ma )

название сила инерции. Таким образом Fи

ma

, отсюда

mан F

Fи –

, то

Если вагон начинает двигаться с ускорением a

a

Fи

a

шарик начнет двигаться с ускорением

a

относительно вагона. Если не учитывать силы

трения,

то

уравнение движения шарика

можно

записать: maи mан

mа

mан

F Fи ,

так

0 ,

a

F

как

F

то

ma

F

или

и

,

так

как

н

и

н

m

Fи ma , то aн

a .

Итак: в неинерциальных системах отсчета законы Ньютона не

выполняются. Однако если уравнения движения записать в виде:

maн

F

Fин ,

где aн

– ускорение

тела в неинерциальной

системе отсчета, F

–

равнодействующая сил, обусловленных воздействием тел друг на друга,

Fин

Уравнение движения тела можно записать в виде: maи mан mа

или

mан maи Fи .

Тогда Fи m aи ан .

вращающейся

системы

отсчета

тело, называется

центробежной силой

инерции.

Центробежная сила

инерции

сообщает

телу центробежное

F

ускорение a

и

2r .

ц.б

m

3.

Центробежная

сила инерции

может совершать работу по

положения тела относительно точки О от r1

до r2:

dA (F dr ) или

dA (m 2r

dr ) .

Так как (r

dr ) r dr , то

и

dA m 2r dr , а при изменении положения от r1 до r2

r2

m 2r 2

r2

m

2 r 2

r 2

A

r1

m 2r dr

2

1

.

12

2

2

r1

4. Если тело движется в неинерциальной системе отсчета, то кроме

центробежной

силы

инерции действует еще одна сила

инерции

– сила

Кориолиса

Fк . Рассмотрим пример. На рисунке изображен вращающийся с

угловой

скоростью

диск, по

которому

движется

тело массой m со

скоростью vн относительно диска.

vн – скорость движения материальной

точки

относительно

вращающейся

ω

vн

(неинерциальной)

системы

отсчета.

v

0

n

r

FК

Направление vн произвольное.

Рассмотрим движение точки относительно инерциальной системы

отсчета.

Скорость

тела

относительно

инерциальной

системы

отсчета:

vи vн v

vн

r ,

так как v

r –

это скорость, которую имеет

тело, так как оно находится на расстоянии r от оси

вращающегося с угловой

скоростью

ω

диска. Тело при движении описывает окружность, поэтому

согласно

второму

закону

Ньютона

можно

записать:

mv2

n

m (vн r )2

n

mv2

n

2m (vн r )

n

m r 2

и

н

n.

r

r

,

r

r

r

Учтем, что v

r

тогда

mv

m 2r 2

m r

2

m 2r ;

r

r

r

)

2m(vн r

2m( vн r )

r

2m( vн

n) , так как

n – единичный

r

r

r

mv2

mv2

записать:

и

n

н

n

2m( v

n

n) m 2r n .

r

r

н

mv2

mv2

н

n

и

n

2m v

m 2r n .

н

r

r

Так как относительно инерциальной системы отсчета можно записать

mv 2

второй закон Ньютона в виде: F

ma

и

n ,

где F – реальные силы,

и

r

неинерциальной

вращающейся

системе

отсчета

на

тело

действует

центробежная

сила инерции

F

m 2r n,

r

r n

F

m 2r ,

и

и

которая

обусловлена вращением

неинерциальной

системы

отсчета

относительно инерциальной. Тогда 2m vн Fк

–

сила инерции (сила

кроме центробежной силы инерции действует ещё сила Кориолиса, равная

y

Решение. Будем рассматривать Землю как

NI

N

инерциальную систему отсчета. В этой системе

отсчета на клин действуют сила тяжести

Mg , сила

0

I

реакции опоры N1 и сила нормального давления со

а0

ан

стороны бруска P (рис. 2.2).

x

Второй закон Ньютона для клина

в системе

x

Р

mg

отсчета, связанной с Землей, имеет вид

P Mg N1 Ma0 ,

Mg

Рис. 2.2

(1)

Ma0 P sin .

(2)

Запишем уравнение движения бруска в системе отсчета, связанной с клином:

mg I N maн ,

(3)

где aн − ускорение бруска относительно клина.

Спроектируем уравнение (3) на оси координат x и y:

mg sin ma0 cos maн ,

(4)

P ma0 sin mg cos 0 .

(5)

В уравнении (5) учтено, что | P | = | N |. Из уравнения (2) получим

P

Ma0

.

(6)

sin

системе отсчета, связанной с блоком.

Решение. Система отсчета, связанная с

блоком,

представляет

собой неинерциальную

у

а0

систему

отсчета.

Запишем

соотношение,

связывающее ускорение a грузов

относительно

Т

Т

Земли с ускорением aн

грузов относительно блока

и

ускорением a0 блока относительно Земли:

ан

ан

a a0 aн .

(1)

mg

Мg

В

системе отсчета, связанной с блоком,

0

mа0

легкий груз массой m поднимается вверх, а

Ма0

тяжелый массой M вниз.

Рис 2.3

Поэтому в проекции на ось y в случае

легкого груза:

ал = а0 + ан,

(2)

а в случае тяжелого груза:

ат = а0 ан.

(3)

Из уравнения (2) следует, что ускорение aл

легкого груза при любом сколь угодно

малом ускорении a0

блока в положительном направлении оси y будет иметь такое же

направление, что и

a0 . Поэтому задача сводится к нахождению ускорения блока, при

котором ускорение aт

тяжелого груза будет направлено в ту же сторону, что и ускорение

грузов относительно блока в проекциях на ось y:

T mg ma0 maн ,

(4)

тяжелого груза aт направлено в положительном направлении оси y , т. е. aт

> 0,

а

(M m)(g a0 )

0 .

(7)

0

m M

скользить вниз. Найдите скорость vн

тела А относительно сферы в момент отрыва от нее.

Решение. В неинерциальной

системе отсчета,

связанной со сферой, на тело

действуют сила

тяжести mg,

сила

инерции

N

I ma и сила реакции опоры N (рис. 2.4). Пусть

I

в начальный момент t = 0 тело находилось в

n

положении 1, а в момент t оказалось в положении 2.

Запишем уравнение движения тела в системе

vн

отсчета, связанной со сферой,

a

N mg I maн ,

mg

где aн dvн dt

(1)

Рис. 2.4

− ускорение тела относительно

сферы, vн − скорость тела относительно сферы.

Введем единичные векторы и n , направленные, соответственно,

вдоль скорости

vн тела и перпендикулярно

скорости vn к центру

O кривизны траектории

( n ).

m

vнdvн

mg sin ma cos .

(6)

Rd

Приведем уравнение (6) к виду, удобному для интегрирования,

vн

m

vнdvн

(mg sin ma cos )d

(7)

0

R

0

и проинтегрировав (7) с учетом

начальных

условий (при

t = 0:

vн = 0,

φ = 0), получим

v2

m

н

mg(1 cos ) ma sin .

(8)

2R

В момент отрыва N 0 и уравнение (3) принимает вид

v2

mg cos ma sin .

m

н

(9)

R

Решая систему уравнений (8) – (9) относительно vн, найдем

vн

2gR 3 .

(10)

Оказывается, что скорость vн

не зависит

от величины

ускорения a сферы

относительно Земли.

нормальной

реакции опоры N , центробежная сила

r

инерции

Fцб m 2r

и

сила

Кориолиса

mg

Рис. 2.5

Fк 2m vн . Потеря

веса

означает,

что N 0 .

Поэтому человек «взлетит», если равнодействующая

остальных сил в проекции на ось x при N 0 будет удовлетворять условию

Fцб − mg + Fк 0.

(1)

Учитывая приведенные выше выражения для сил, уравнение (1) представим в виде

2v ω ω2r g 0.

(2)

н

2v u

u2

g 0 .

н

(3)

r

r

r

r

r

2

2

2

2

Ацб Fцбdr m 2rdr m 2rdr

m r

mvн

mv0

.

(1)

2

0

0

0

2

2

F

G

Mmr

, сила нормальной реакции опоры N ,

гр

R3

Fк

должна

уравновешиваться силой

нормальной

Рис. 2.7

реакции опоры N . По третьему закону Ньютона, тело

будет действовать на

поверхность канала с силой

F N . Следовательно,

F

Fкор

2m vнω

2mvнω .

(1)

(Угол (vнω) 90

в соответствии с рис. 2.7).

Запишем в системе отсчета, связанной с Землей, уравнение движения тела в

проекциях на ось Оr

mr G

mM

r m 2r .

(2)

R3

Представим уравнение (2) в виде

M

2

r

G

r 0 .

(3)

R3

Уравнение (3) представляет уравнение гармонического осциллятора с циклической

частотой ω1

G

M

2 ,

(4)

1

R3

циклической частотой ω1.

Запишем решение дифференциального уравнения (3) в виде

r(t) = Asin(ω1t+ 0).

(5)

Амплитуду A и начальную фазу 0 определим из начальных условий (r = R, v = 0 при

t = 0): r = Rsin0, Aω1cos0 = 0. Отсюда

0

= /2 и

A = R. Тогда закон движения приобретает вид

r t

R sin

t .

(6)

1

2

Подставив числовые данные, можно показать, что

G

M

ω2

4 2

,

R3

T 2