Физика / 1 семестр / РАЗДЕЛ №1. МЕХАНИКА / 6 Конспект лекции на тему ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ

Тема 6 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ

6.1. Изотропность и однородность пространства и времени

Совокупность материальных точек (или тел) называется механической системой. Состояние системы характеризуется одновременным заданием координат и скоростей всех ее частиц. При движении системы ее состояние изменяется со временем. Существуют, однако, такие величины, которые обладают замечательным свойством сохраняться во времени. Среди этих сохраняющихся величин наиболее важную роль играют энергия, импульс и момент импульса. Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса имеют глубокие корни. Они связаны с фундаментальными свойствами пространства и времени – однородностью и изотропностью.

Так, закон сохранения импульса связан с однородностью пространства. Однородность пространства означает, что свойства пространства одинаковы во всех точках: если замкнутую систему тел перенести из одного места пространства в другое, поставив при этом все тела в ней в те же условия, то это не отразится на ходе физических процессов.

Закон сохранения момента импульса является следствием изотропности пространства. Изотропность пространства означает, что свойства пространства в каждой точке одинаковы во всех направлениях: физические процессы не изменяются при повороте замкнутой системы в пространстве на любой угол.

Закон сохранения энергии связан с однородностью времени. Однородность времени означает, что протекание физических явлений (в одних и тех же условиях) в разное время их наблюдения одинаково. Например, при свободном падении тела в поле сил тяжести его скорость и пройденный путь зависят от начальной скорости и продолжительности свободного падения и не зависят от того, когда тело станет падать.

Законы сохранения далеко выходят за рамки механики и представляют собой универсальные законы природы. До сих пор не обнаружено ни одного явления, где бы эти законы нарушались. Они безошибочно «действуют» и в области элементарных частиц и в области космических объектов. Законы сохранения являются эффективным инструментом исследования, которым повседневно пользуются физики.

Изучение законов сохранения начнем с закона сохранения импульса.

6.2. Закон сохранения импульса системы материальных точек (тел)

Закон сохранения импульса является следствием второго и третьего законов Ньютона. Тела, входящие в систему, могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не принадлежащими системе.

Механическая система – совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое.

Внутренние силы – силы взаимодействия между материальными точками,

n n

входящими в механическую систему: Fвнутр Fik 0.

i 1 k 1 i k

Внешние силы – силы, которые действуют на систему со стороны тел, не входящих в систему.

Замкнутая (изолированная) система – система, на которую не действуют внешние силы.

Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек (или тел) (рис. 6.1).

, то сумма всех внутренних сил равна нулю. Имеем

Это и есть уравнение движения центра масс системы: центр масс системы частиц движется так, как двигалась бы материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы под действием всех приложенных к системе внешних сил.

Пример 2. Человек прыгает с вышки в воду. Движение прыгуна в общем случае имеет весьма сложный характер. Однако если сопротивление воздуха пренебрежимо мало, то можно сразу утверждать, что центр масс прыгуна движется по параболе, как материальная точка, на которую действует

постоянная сила mg , где m – масса человека.

центр масс системы либо движется равномерно и прямолинейно, либо остается неподвижным.

Уравнение (6.8) по форме совпадает с основным уравнением динамики материальной точки и является его обобщением на систему частиц.

6.4. Уравнение движения тела переменной массы

Имеется много случаев, когда масса тела изменяется в процессе движения за счет непрерывного отделения или присоединения вещества (ракета, реактивный самолет, автомобиль для поливки улицы).

Наша задача: найти уравнение движения такого тела. Решение этого вопроса покажем на примере ракеты. Принцип действия ракеты состоит в следующем. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (продукты сгорания), воздействуя на него с большой силой. Выбрасываемое вещество с такой же, но противоположно направленной силой, в свою очередь, действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении.

Пусть в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость v . Спустя время

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела:

Умножим каждое уравнение на соответствующее перемещение. Учитывая, что

Выражение (6.18) представляет собой закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия замкнутой системы, в которой действуют только консервативные силы, сохраняется, т.е. не изменяется со временем. Может происходить лишь превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, причем приращение одной из них в точности равно убыли другой.

Сформулируем закон изменения полной механической энергии системы.

Пусть система материальных точек (тел) не является замкнутой. На материальные точки, кроме внутренних консервативных сил, действуют любые другие силы, которые будем называть сторонними. Отнесем к сторонним силам все внешние силы (силы со стороны тел не входящих в систему), а также все диссипативные силы (силы трения, силы сопротивления), как внутренние, так и внешние. Таким образом, сторонними силами будем называть все силы, кроме внутренних консервативных сил.

Если система материальных точек перешла из произвольного начального положения 1 в произвольное конечное положение 2, то, согласно теореме о кинетической энергии, работа всех приложенных к материальным точкам сил равна приращению их кинетических энергий. Следовательно, работа всех сил, действующих на систему и внутри системы, равна приращению кинетической энергии системы материальных точек: A1 2 Eк2 Eк1, где Eк2 и Eк1 –

кинетическая энергия системы материальных точек в конечном и начальном состоянии соответственно.

согласно которому работа консервативных сил равна убыли потенциальной

материальных точек (тел) из произвольного начального положения в произвольное конечное положение равна приращению полной механической энергии системы:

Если в замкнутой системе, кроме консервативных сил, действуют еще диссипативные силы, например сила трения, то полная механическая энергия не сохраняется (часть механической энергии превращается в тепло). В этом случае выполняется общефизический закон сохранения энергии: энергия никогда не создается и не уничтожается, она может только переходить из одной формы в другую.

С помощью законов сохранения импульса и энергии исследуем движение сталкивающихся тел.

6.6. Абсолютно упругий удар

Ударом называется любое кратковременное взаимодействие тел, результатом которого является значительное изменение скорости их движения.

С ударом мы встречаемся не только в макромире (т.е. мире больших тел), но и в мире атомных, ядерных и элементарных частиц.

Движение сталкивающихся тел (как и всякая другая задача о движении тел) может быть исследовано с помощью законов Ньютона. Однако для этого нужно было бы знать, какие силы возникают при соприкосновении тел и как они изменяются в процессе соударения. Но если нас интересуют не детали процесса соударения, а лишь конечный результат его, то такое полное исследование с помощью законов Ньютона становится ненужным. Так как два сталкивающихся тела, на которые не действуют силы со стороны других тел, представляют собой замкнутую систему, то к ним применим закон сохранения импульса, а во многих случаях – и закон сохранения энергии. Зная движение тел до столкновения и применяя законы сохранения, можно определить движение тел после столкновения. Моделью для подобных задач может служить задача о соударении шаров. Будем рассматривать центральный удар шаров – это удар, при котором центры масс шаров лежат на одной прямой. При этом шары могут двигаться навстречу друг другу или первый шар может догонять второй.

Различают абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.

Абсолютно упругий удар – это удар, при котором механическая энергия системы соударяющихся тел не превращается в другие виды энергии.

Пусть оба шара движутся вдоль оси x (рис. 6.4). Скорости шаров с массами

Рис. 6.4

Проекции векторов скорости на ось x равны модулям скоростей. В момент удара шары деформируются (сжимаются). В обоих шарах возникают упругие силы, которые стремятся восстановить форму шара. Эти силы замедляют движение первого шара и ускоряют движение второго. Так как удар абсолютно упругий, шары полностью восстанавливают свою форму, затем расходятся и движутся уже со скоростями, отличными от скоростей до удара. При соударении в телах возникают столь значительные силы, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь и считать, что шары образуют