Физика / 1 семестр / РАЗДЕЛ №1. МЕХАНИКА / 3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ТЕМУ ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
.pdfДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Физика является одной из тех наук, знание которой необходимо для успешного изучения общенаучных и специальных дисциплин. При изучении курса физики студенты должны прочно усвоить основные законы и теории, овладеть необходимыми навыками решения задач по физике. Единственный
способ научиться решать задачи – это пытаться решать их самостоятельно. Знание теории закрепляется с использованием ее для решения задач. Уровень подготовки по физике определяется уровнем сложности задач, которые студент может решить.
Формирование навыков грамотного решения типичных задач является
основной целью методического введения (с примерами решения задач) к каждой теме сборника индивидуальных заданий.
В учебном пособии рассмотрены основные вопросы кинематики, приведены методические указания по решению типовых задач, а так же приведены задачи для самостоятельного решения и тесты.
Цель пособия – помочь студентам освоить материал программы, научить активно применять теоретические основы физики как рабочий аппарат, позволяющий решать конкретные задачи, приобрести уверенность в самостоятельной работе.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
1.Внимательно прочитайте условия задачи. Сделайте сокращенную запись данных и искомых физических величин, предварительно представив их в системе СИ.
Система СИ состоит из основных, дополнительных и производных
единиц. Основными единицами являются: единица длины – метр (м); массы – килограммы (кг); времени – секунда (с); силы электрического тока – ампер (А); термодинамической температуры – кельвин (К); количества вещества – моль (моль); силы света – кандела (кд).
Дополнительные единицы: единица плоского угла – радиан (рад); единица телесного угла – стерадиан (ср).
Производные единицы устанавливаются через другие единицы данной системы на основании физических законов, выражающих взаимосвязь между соответствующими величинами.
2. В условиях и при решении задач часто используются множители и приставки СИ для образования десятичных и дольных единиц (см. Приложение).
3.Вникните в смысл задачи. Представьте физическое явление, о котором идет речь; введите упрощающие предположения, которые можно сделать при решении. Для этого необходимо использовать такие абстракции, как материальная точка, абсолютно твердое тело, луч света.
4.Если позволяет условие задачи, выполните схематический чертеж.
5.С помощью физических законов установите количественные связи между заданными и искомыми величинами, то есть составьте замкнутую систему уравнений, в которой число уравнений равнялось бы числу неизвестных.
6.Найдите решение полученной системы уравнений в виде алгоритма, отвечающего на вопрос задачи.
7.Проверьте правильность полученного решения, использую правило размерностей.
8.Подставьте в полученную формулу численные значения физических величин и проведете вычисления. Обратите внимание на точность численного ответа, которая не может быть больше точности исходных величин.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Тело движется по горизонтальной поверхности под действием силы , которая направлена под углом α к горизонту. Найти ускорение тела α, если известны масса тела т, сила , угол α и коэффициент трения µ.
Дано:
, α, m, µ
_______________
a-?
Решение: |
|
|
|
||
На тело действуют сила , |
|
|
|||
сила тяжести |
, |
сила |
|
|
|
реакции опоры |
и сила |
|
|
||
трения |
. |
Запишем |
|
|
|
уравнение |
движения |
тела |
|
|
|
в векторной форме: |
|
|
|
||
|
|
|
|
. |
(1) |
Направим ось координат 0х по направлению движения тела, ось 0у - по вертикали вверх. Запишем уравнение (1) в проекциях на оси координат 0х и
0у:
Fcosα – Fтр = ma, |
(2) |
Fsinα – mg + N = 0. |
(3) |
Из уравнения (3): N = mg – Fsinα.
Силу трения найдем по формуле Fтр = µN. Тогда Fтр = µ(mg – Fsinα). Подставим значение Fтр в уравнение (2): Fcosα - µ(mg – Fsinα) = ma.
Отсюда ускорение, с которым движется тело, равно:
Если мы знаем начальную скорость тела υ0 и его начальную координату x0, то мы можем найти положение тела в любой момент времени
.
Ответ:
Пример 2. Два тела массами т1 и т2 связаны нитью и движутся по горизонтальной поверхности под действием силы . Нить нерастяжимая невесомая.
Найти ускорение системы тел а и силу натяжения нити, если известны сила тяги F, массы тел т1 и т2 и коэффициент трения µ
|
y |
|
|
|
нит |
|
|
T2 T1 |
|
0 |
x |
|
|
|
Дано: |
|
Решение: |
F, m1, m2, µ |
Рассмотрим силы, действующие на каждое тело. |
|
_________________ |
|
|
a - ?
На первое тело действуют 5 сил: сила тяги ,сила тяжести |
, |
сила |
|
реакции опоры , сила натяжения нити и сила трения . |
|
|
|
На второе тело действуют 4 силы: сила натяжения нити |
, |
сила |
|
тяжести |
, сила реакции опоры и сила трения . |
|
|
Так как нить невесомая и нерастяжимая, можно считать, что тела |
|||
движутся с одинаковым ускорением и силы натяжения нити и |
равны |
||
по величине (Т1 = Т2 = Т). |
|
|
|
Запишем для каждого тела уравнения движения в векторной форме.
|
|
|
|
|
, |
(2.15) |
|
|
|
|
|
|
(2.16) |
Выберем прямоугольную систему координат и направим ось 0x по направлению движения системы тел, ось 0у - по вертикали вверх. Запишем уравнения (2.15) и (2.16) в проекциях на оси координат:
ось 0x:
F – T – Fтр1 = m1a,
(2.17)
T – Fтр2 = m2a,
ось 0y:
N1 – m1g = 0,
(2.18)
N2 – m2g = 0.
Из уравнений (2.18) найдем N:
N1 = m1g, |
N2 = m2g. |
Силу трения найдем по формуле Fтр2 = µN.
Тогда Fтр1 = µm1g и Fтр2 = µm1g.
Подставим значение сил трения в уравнения (2.17)
F – T - µm1g = m1a, |
(2.19) |
T - µm2g = m2a. |
(2.20) |
Сложим почленно уравнения (2,19) и (2.20).
Получим F - µg(m1 + т2) = (m1 + т2)а.
Отсюда ускорение, с которым движется система тел, равно
Силу натяжения нити между телами найдем, если подставим значение ускорения в уравнения (2.19) или (2.20):
T = m2a + µm2g,
( |
|
|
) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ:
Пример 3.Два тела массами т1 и m2 связаны нитью. Нить перекинута через неподвижный блок. Нить нерастяжимая и невесомая. Массой блока и трением в блоке можно пренебречь. Определить ускорение тел а и силу натяжения нити T между телами.
Дано: |
Решение: |
m1, m2
___________ |
|
|
|
a - ? Т - ?_ |
|
Рассмотрим |
силы, |
|
действующие на каждое тело. На |
||
_________ |
тело 1 действуют сила натяжения |
||
|
|||
|
нити |
и сила тяжести |
.На |
|
тело 2 действуют сила натяжения |
||
|
нити |
, и сила тяжести |
. |
y
блок
T1
m T2
m
m1
m2
0 |
x |
|
Так как нить нерастяжимая и невесомая и трением в блоке и массой блока можно пренебречь, можно считать, что тела движутся с одинаковым по величине и противоположным по направлению ускорением | | | |
и силы натяжения нити и |
равны ( |
= = ). Запишем уравнения |
движения для каждого тела в векторной форме: |
||
|
|
, |
|
|
(2.21) |
|
|
. |
Будем считать, что m2 > m1, и тело 1 под действием приложенных к
нему сил движется вверх. Выберем прямоугольную систему координат х0υ.
Направим ось 0у вертикально вверх (рис.2.28). Запишем уравнения (2,21) в проекциях на ось 0у:
(2.22)
Отсюда |
, |
Силу натяжения нити между телами найдем, если подставим значение ускорения в любое уравнение системы (2.22):
Ответ:
Пример 4. Тело массой т движется вниз по наклонной плоскости с углом наклона а. Коэффициент трения между телами и наклонной плоскостью µ. Найти ускорение а, с которым движется тело.
Дано:
т, а, µ.
____________
а - ?
|
|
Решение: |
|
||
На тело |
действует |
сила |
тяжести |
, сила |
|
реакции |
опоры |
, |
сила |
трения . |
Запишем |
уравнение движения тела в векторной форме: |
|||||
|
|
|
|
. |
|
|
y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mgsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
- mgsin |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Рис.2.29.Движение тела вниз |
Рис.2.30.Проекции сил на оси |
||||
по наклонной плоскости |
координат |
|
|||
Направим ось координат 0х вдоль наклонной плоскости вниз, 0y - перпендикулярно наклонной плоскости вверх. Найдем проекции силы тяжести на оси координат (рис.2.30). Запишем уравнение (2.23) в проекциях:
ось 0x |
mgsinα - Fтр - та, |
(2,24) |
ось 0у: |
N - mgcosα = 0. |
(2.25) |
Из уравнения (2.25) найдем N = mgcosα = 0.
Силу трения найдем по формуле Fтр = µN. Тогда Fтр = µmgcosα. Подставим значение силы трения в уравнение (2.24)
mgsinα - µmgcosα = та.
Отсюда |
α = gsinα - µgcosα |
(2.26) |
Из уравнения (2.26) следует, что для движения тела вниз по наклонной плоскости необходимо, чтобы выполнялось условие:
gsinα ≥ µgcosα или µ ≤ tgα.
Если µ ≤ tgα, то тело движется вниз по наклонной плоскости с ускорением (2.26). Если µ = tgα, то тело движется вниз по наклонной плоскости равномерно. Эта формула позволяет определить коэффициент трения скольжения на опыте.
Ответ: α = gsinα - µgcosα.
Пример 5. Тело массой m движется вверх по наклонной плоскости с углом наклона α. Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью µ.
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mgsinα |
|
|
|
|
|
x |
|
α -mgcosα |
α |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
Рис.2.31.Движение тела вверх по |
Рис.2.32.Проекции сил на оси |
||||
наклонной плоскости |
координат |
|
|||
Найти ускорение а, с которым движется тело.
Дано: |
Решение: |
|
т, а, µ. |
На тело действуют сила тяжести |
, сила реакции опоры , |
__________ сила тяги , сила трения .
__
а - ?
Запишем уравнение движения тела в векторной форме
|
|
|
|
|
Направим ось 0x вдоль наклонной плоскости вверх, 0y- перпендикулярно наклонной плоскости вверх. Найдем проекции силы тяжести на оси координат.
Запишем уравнение (2.27) в проекциях:
ось 0x: |
|
(2.28) |
ось 0y: |
N – mgcosα = 0. |
(2.29) |
Из уравнения (2.29) найдем: N = mgcosα.
Вычислим силу трения по формуле Fтр = µN. Тогда Fтр = µmgcosα.
Подставим значение силы трения в уравнение (2.28)
F - mgsinα - µmgcosα = ma.
Отсюда |
|
(2.29') |
|
Из уравнения (2.29') следует, что для движения тела вверх по наклонной плоскости необходимо, чтобы выполнялось условие:
F - mgsinα - µmgcosα ≥ 0.
Перепишем условие (2.30) в виде
F ≥ mg (sinα + µcosα).
Если F > mg (sinα + µcosα), то тело движется вверх по наклонной плоскости с ускорением (2.29).
Если F = mg (sinα + µcosα), то тело движется вверх равномерно.
Ответ:
если F ≥ mg (sinα + µcosα).
Пример 6. На тело массой т действуют силы, результирующая которых постоянна по величине и перпендикулярна скорости движения. Начальная скорость тела равна υ. Определить характер движения и его характеристики.
Дано: |
Решение: |
т, υ |
Тело массой m движется по окружности (Рис.2.33). На |
___________ |
тело действуют силы, результирующая которых |
перпендикулярна скорости движения тела |
R - ?
R О
|
| |
| |
. |
Модуль скорости остается постоянным, направление скорости за любые равные промежутки времени изменяется на одинаковый угол. В этом случае тело равномерно движется по окружности. Найдем радиус окружности.
Запишем уравнение движения тела по окружности:
|
|
|
|
(2.31) |
||
где - нормальное ускорение. |
|
|
|
|
|
|
Из кинематики мы знаем, что |
|
, где R - радиус окружности. |
Тогда |
|||
|
||||||
уравнение (2.31) в скалярной форме имеет вид: |
|
. |
|
|
||
|
|
|
||||
направлена к центру окружности «О» вдоль радиуса. Отсюда |
|
. |
||||
|
||||||
Ответ: .
Пример 7. Диск вращается в горизонтальной плоскости с постоянной угловой скоростью ω. На диске лежит тело на расстоянии r от оси вращения (рис. 2.34). Найти максимальную угловую скорость ω0, при которой тело еще находится в покое относительно диска.