Добавил:

PickyEater13 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

Физика общая

Файл:

1 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ТЕМУ КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.11.2024

Размер:

809.68 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

ПРЕДИСЛОВИЕ

Физика является одной из тех наук, знание которой необходимо для успешного изучения общенаучных и специальных дисциплин. При изучении курса физики студенты должны прочно усвоить основные законы и теории, овладеть необходимыми навыками решения задач по физике. Единственный

способ научиться решать задачи – это пытаться решать их самостоятельно. Знание теории закрепляется с использованием ее для решения задач. Уровень подготовки по физике определяется уровнем сложности задач, которые студент может решить.

Формирование навыков грамотного решения типичных задач является основной целью методического введения (с примерами решения задач) к каждой теме сборника индивидуальных заданий.

В учебном пособии рассмотрены основные вопросы кинематики, приведены методические указания по решению типовых задач, а так же приведены задачи для самостоятельного решения и тесты.

Цель пособия – помочь студентам освоить материал программы, научить активно применять теоретические основы физики как рабочий аппарат, позволяющий решать конкретные задачи, приобрести уверенность в самостоятельной работе.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

1. Внимательно прочитайте условия задачи. Сделайте сокращенную запись данных и искомых физических величин, предварительно представив их в системе СИ.

Система СИ состоит из основных, дополнительных и производных единиц. Основными единицами являются: единица длины – метр (м); массы – килограммы (кг); времени – секунда (с); силы электрического тока – ампер (А); термодинамической температуры – кельвин (К); количества вещества – моль (моль); силы света – кандела (кд).

Дополнительные единицы: единица плоского угла – радиан (рад); единица телесного угла – стерадиан (ср).

Производные единицы устанавливаются через другие единицы данной системы на основании физических законов, выражающих взаимосвязь между соответствующими величинами.

2. В условиях и при решении задач часто используются множители и приставки СИ для образования десятичных и дольных единиц (см. Приложение).

3.Вникните в смысл задачи. Представьте физическое явление, о котором идет речь; введите упрощающие предположения, которые можно сделать при решении. Для этого необходимо использовать такие абстракции, как материальная точка, абсолютно твердое тело, луч света.

4.Если позволяет условие задачи, выполните схематический чертеж.

5.С помощью физических законов установите количественные связи между заданными и искомыми величинами, то есть составьте замкнутую систему уравнений, в которой число уравнений равнялось бы числу неизвестных.

6.Найдите решение полученной системы уравнений в виде алгоритма, отвечающего на вопрос задачи.

7.Проверьте правильность полученного решения, использую правило размерностей.

8.Подставьте в полученную формулу численные значения физических величин и проведете вычисления. Обратите внимание на точность численного ответа, которая не может быть больше точности исходных величин.

КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

I. Основные формулы.

1.Материальная точка, это тело, обладающее массой, размерами которого в данной задаче можно пренебречь.

2.Кинематическое уравнение движения.

Положение

материальной

точки

М в

декартовой

системе

координат

определяется тремя

координатами

y, z или

радиус–вектором

r , проведенным из начала

отсчета к точке, тогда x, y, z – проекция радиус–

вектора на соответствующие оси. При движении

точки ее координаты,

модуль

направление

радиус–вектора

изменяются,

т.е. они

являются

функцией времени

x f t

f t

t .

или r

Рис. 3

f t

Если вид функции

r t известен, то уравнение движения задано в векторной

kz , где i, j, k – единичные вектора, а x, y, z – проекции вектора

форме r ix jy

на оси x, y, z.

Конец

радиус–вектора

описывает

пространстве

кривую, которая

r t

называется траекторией движущейся точки.

3. Траектория – это линия, описываемая движущейся материальной точкой (или телом) относительно выбранной системы отсчета. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движение. Вид траектории зависит от характера движения точки или системы отчет.

4. Вектор перемещения. Вектор r

r2 r1 ,

проведенный из начального

положения движущейся точки в положение ее в

данный момент

времени

(приращение

радиус–

вектора

за

рассматриваемый

промежуток

времени).

где

x, y, z –

r i x j y k z ,

на оси x,

а i, j,

k –

проекции вектора r

соответствующие орты.

5. Длина пути. Длина участка траектории 1–

2, пройденного точкой за данный промежуток

времени:

S S t

–

скалярная

функция

Рис. 1

времени.

При

прямолинейном движении

вектор

перемещения

совпадает

соответствующим

участком

траектории

модуль

перемещения r равен пройденному пути S :

r S .

6. Скорость. Векторная величина, определяющая быстроту изменения

положения точки в единицу времени.

Средняя

скорость

–

векторная

величина,

определяемая

отношением

t , в течении которого

приращения радиус–вектора r к промежутку времени

это приращение произошло = t .

траектория

Направление

вектора

средней

скорости совпадает с направлением r .

Мгновенная

скорость

–

векторная

Рис. 2

величина, определяемая первой производной

радиус–вектора

движущейся

точки

по

времени lim

t 0

Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону

движения (рис. 2). Так как r

ix jy kz, то i

где x

, y

, z

– проекции вектора на оси x, y, z.

i x j y k z ,

2x 2y 2z

. Модуль мгновенной скорости равен первой производной от пути по времени

lim

t 0

Средняя путевая скорость (средняя скорость на участке пути). Средней путевой скоростью на некотором участке пути, называется величина, равная отношению пройденного пути S к промежутку времени t , за который этот

путь пройден		ср	S .	Эта скорость характеризует	быстроту движения
			t

материальной	точки		в среднем за промежуток времени		t .	Средняя	путевая
скорость не содержит информации о направлении движения точки.
7. Ускорение.			Ускорение – векторная величина, определяющая быстроту
изменения скорости в единицу времени.
Среднее ускорение.
Векторная величина,				равная отношению изменения		скорости
Векторная величина,				равная отношению изменения		скорости	к

интервалувремени t , за которое это изменение произошло. a

Мгновенное

ускорение.

Векторная

величина,

равная производной

от

d 2 r

вектора скорости по времени

lim

; так как

, то

. Если

t 0

уравнение движения заданы в координатной форме, то ускорение

определяют

по

его

проекциям

на

оси

координат:

если x x t ,

y y t , z z t ,

то

d 2 x

d y

d 2 y

d 2 z

, a

dt 2

				d 2 x 2
	2	2	2
Модуль ускорения a	ax	ay	az
					2
				dt

d 2 y 2dt 2

d 2 z 2 .dt 2

Нормальное и тангенциальное ускорение. При естественном способе описания движения точки (в случае криволинейного движения) ускорение а разлагается на две составляющие: касательное (тангенциальное) a и нормальное

(центростремительное) an .

		Тангенциальная		составляющая
0		ускорения	характеризует		быстроту
0		изменения	скорости	по	модулю.
	траектория	изменения	скорости	по	модулю.
	траектория	Тангенциальное ускорение направленно по
a	движения	Тангенциальное ускорение направленно по
	движения	касательной к траектории.
		касательной к траектории.
an			a d
			a d
a			dt

Нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Нормальное ускорение направлено к центру кривизны траектории.

an	2
	r


Таким образом, полное ускорение при криволинейном движении a		a an .

Модуль полного ускорения a a2 an2 .

Классификация движения в зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения.

Движение

0	0	прямолинейное равномерное
a a const	0	прямолинейное равнопеременное
a f t	0	прямолинейное с переменным ускорением
0	const	равномерное по окружности
0	0	равномерное криволинейное
const	0	криволинейное равнопеременные
a f t	0	криволинейное с переменным ускорением

Примеры решения задач

	Пример 1.
	Уравнение движения материальной точки вдоль оси х имеет вид
x A Bt Ct 3 , где A=2 м, B=1 м/с, С=–0,5 м/с3. Найти координату х, скорость и
ускорение a точки в момент времени t=2 с.
	Дано:	Решение.
	x 2 t 0,5t3 ;	Координату х найдем, подставив в уравнение движения
	t 2с	числовые значения коэффициентов A, B и С и времени
		x 2 1 2 0,5 23 =0 (м),
	Найти:	x 2 1 2 0,5 23 =0 (м),
	Найти:	Мгновенная скорость есть первая производная от
	, a –?	Мгновенная скорость есть первая производная от

координаты по времени:

dxdt B 3Ct 2 .

Вмомент времени t=2 с 1 3 0,5 22 =–5 (м/с).

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по

времени: a d 6Ct dt

В момент времени t=2 с a 6 0,5 2 =–6 (м/с2).

Пример 2.

Материальная точка движется по прямой. Уравнение ее движения s=t4+2t2+5. Определить мгновенную скорость и ускорение точки в конце второй секунды от начала движения, среднюю скорость и путь, пройденный за это время.

Дано:	Решение.
s=t4+2t2+5, t=2 с.	Мгновенная скорость – это первая производная от пути по
Найти:	времени:	ds	4t 3 4t 4 23 2 40 (м/с).
, a, , s –?		dt

Мгновенное ускорение – это первая производная от скорости по времени:

				a	d		12t 2 4 12 22 4 52 (м/с2).
					dt

Средняя скорость точки за время t t t0 определяется по формуле
s	s t s 0			.

t	t t0
Так как t			0 , то			t 4	2t 2 5 5	t 3 2t 12 (м/с).
		0
							t

Путь, пройденный точкой за время t=2 с, будет равен

s s t s 0 t 4 2t 2 5 5 24 2 22 24 (м).

Пример 3.

Движение двух тел описывается уравнениями. Определить величину скоростей этих тел и момент времени, когда ускорения их будут одинаковы, а также значение ускорения в этот момент времени.

Дано:

Решение.

x1 0,75t3 2,25t2 t;

Определим момент времени, когда

ускорения обоих

0,25t3 3t2 1,5t

тел одинаковы.

Для этого найдем выражение для

ускорения

первого

второго

тела,

a2 a

продифференцировав по времени уравнения движения

Найти:

d 1

1 , 2 , t, a

этих тел: a

4,5 4,5t

d 2 x

6 1,5t

dt 2

Согласно условию a1 a2

в какой–то момент времени t. Приравниваем

полученные выражения для а друг к другу и решаем уравнение относительно t: 4,5 4,5t 6 1,5t; 3t 1,5; t 0,5 c

Зная t, найдем значение скоростей тел в этот момент времени:


		dx1		2,25t 2 4,5t 1 2,25 0,52 4,5 0,5 0,1 1 3,81(м / с) .
				2,25t 2 4,5t 1 2,25 0,52 4,5 0,5 0,1 1 3,81(м / с) .
1		dt
		dt
			dx2		0,75t 2 6t 1,5 0,75 0,52 6 0,5 1,5 4,69(м / с)
	2		dt		0,75t 2 6t 1,5 0,75 0,52 6 0,5 1,5 4,69(м / с)
	2

Ускорение тел в этот момент времени будет

a1 a2 6 1,5t 6,75 (м/с2).

Пример 4.

Тяжелое тело брошено вверх с высоты 12 м под углом 30° к горизонту с начальной скоростью 12 м/с. Определить продолжительность полета тела до точки A и до точки В (рис. 1); максимальную высоту, которой достигнет тело, дальность полета тела. Сопротивление воздуха не учитывать.

Дано:			Решение.
Н=12 м,			В обозначенной на рис. 3 системе координат
30 ,			составляющие скорости будут:
12	м/с				x 0		cos ;			(1)
0
Найти:					y 0 sin gt					(2)
tA , tB , Hmax , xmax –?			Координаты тела с течением времени меняются в
Y				соответствии с			уравнением равнопеременного
	0
0 y	0	C		движения:
0 y		C		движения:
O1	h		A		y H 0t sin gt 2					(3)
0 x									2	(4)
0 x						x 0t cos				(4)
ymax						x 0t cos
ymax	H				Время подъема				тела найдем из	условия,
					Время подъема				тела найдем из	условия,
				что в наивысшей точке подъема тела скорость
				что в наивысшей точке подъема тела скорость
			B	y	0 . Тогда из уравнения (2)
O		max	X		tподъема				0 sin
O			X		tподъема				g
	Рис. 1									(5)
										(5)
Время спуска тела от точки С до точки А равно времени подъема, поэтому
продолжительность полета от точки О до точки А равна:
					tA 2tподъема			2 0 sin		(6)
					tA 2tподъема				g	(6)
									g
Максимальную высоту подъема найдем из уравнения (3), подставив в него
время подъема из уравнения (5):
					Hmax H	2 sin 2
				ymax			0			(7)
				ymax				2g		(7)
								2g
Время полета тела до точки В найдем из уравнения (3), приравняв
координату у к нулю (у=0):

				0	sin			0	sin				2	2H
	tB			0				0							(8)
	tB				g					g				g	(8)
					g					g				g
Дальность полета найдем из уравнения (4), подставив в него время
движения из уравнения (8) xmax		0tB cos (9). Проведем вычисления по формуле
(6):
	tA		2 0 sin				2 2 0,5					1,22 (c);
	tA					g	9,81					1,22 (c);
						g	9,81
по формуле (8):

	12 0,5					12 0,5 2					2 12		2,29 (c);
tB
tB	9,81									9,81
	9,81					9,81				9,81

по формуле (7):


H		12	1212 0,52		12 1,83 13,83 (м);
	max
		2		9,81

по формуле (9):

xmax 12 0,866 2,29 23,8(м)

Пример 5.

По условию задачи 4 найти в момент приземления тела следующие величины: скорость и угол падения тела, тангенциальное и нормальное ускорения

тела и радиус кривизны траектории.

Дано:

Решение.

Н=12 м,

Результирующая или мгновенная скорость в точке В

30 ,

(рис. 4) находится как векторная сумма составляющих

м/с

или

cos2 2 .

Найти:

Составляющую y в точке В найдем из уравнения (2)

B , , a , an , R –?

предыдущей задачи, подставив в него время движения tB из уравнения (8):

0 sin gtB

0 sin 2 2gH

Тогда скорость в точке В:

cos 2

sin 2

2gH

2gH .

Вычисляем

122

2 9,81 12 19,48 (м/с).

Для определения угла , который

составляет вектор скорости B

горизонтальной осью х, воспользуемся треугольником скоростей (рис. 4):

sin

sin 2

2gH

16,48

0,846;

02 2gH

19,48

arcsin 0,846 57 46

Построим в точке В треугольник ускорений.

Тангенциальная

составляющая

ускорения

направлена вдоль вектора мгновенной скорости в

данной точке,

т.е. по

касательной

траектории.

Нормальная

составляющая

ускорения

направлена

перпендикулярно

вектору мгновенной

Рис. 2

скорости B

. Их векторная сумма a

g .

Тогда из рис. 2 находим:

g sin g

; a

g cos g

Вычисляем

a g sin 9,81 0,846 8,3 (м/с2);

					a g cos 9,81 01,533 5,23 (м/с2).
					n
		Радиус кривизны траектории в точке приземления определяем из уравнения
a		2
a	n	B .
	n	R
		R
			2	19,482
		Отсюда R	B			72,56 (м).
		Отсюда R	B			72,56 (м).
			an	5,23

Пример 6. Прямолинейное движение. Частица движется по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости по закону a , где положительная постоянная. В начальный момент скорость точки равна 0 . Какой путь она пройдет до остановки? За какое время этот путь будет пройден?

	d		d
Решение. Поскольку a	d	, то	d		. Разделив переменные, имеем
Решение. Поскольку a	dt	, то	dt		. Разделив переменные, имеем
	dt		dt
				d	dt.	(1)

Проинтегрировав (1), получим после несложных преобразований

0 2t .

Решая уравнение (2) , найдем время до остановки

2 0 .

Поскольку dsdt , то с учетом (2)

ds ( 0 2t )2 dt.

Проинтегрировав (4) в пределах от 0 до , найдем искомую величину

(2)

(3)

(4)

													)3
			t			2			( 0				)3				( 0 )	3/ 2
	s ( 0		t	2	dt =	2		[					2				( 0 )		]					(5)
				)
			2	)								3					3
	0		2									3					3
	0
После подстановки (3) в (5), получим s												2	( 0 )3 / 2 .
После подстановки (3) в (5), получим s													( 0 )3 / 2 .
											3

																	Ответы:			2 0	; s	2	(	0 )3 / 2 .
																	Ответы:				; s	3	(	0 )3 / 2 .
																						3
Пример 7. Уравнение траектории. Частица движется в плоскости XOY из точки

с координатами x = y = 0 со скоростью ai															bx2 j, где a и b –постоянные,									i ,	j -
орты осей.	Найдите уравнение траектории y f(x).

Решение.	Закон изменения скорости движения имеет вид x i y j.
Проекции скорости x и y		связаны с координатами x и y соотношениями
					x		dx			и		y		dy		.
					x					и		y				.
								dt						dt
Отсюда
				dx x dt adt .																				(1)

	dy bx2 dt.	(2)
Проинтегрировав (1)	с учетом начальных условий, имеем
	x at.	(3)
Подставив (3) в (2), получим
	dy a2bt 2dt	(4)
Проинтегрировав (4)	с учетом начальных условий, найдем

y a2bt3 . 3

Чтобы получить уравнение траектории, необходимо из уравнений (1) и (2) исключить параметр t . После несложных преобразований получим искомое уравнение траектории

y 3bxa3 .

Ответ: y bx3 .

3a 2

Пример 8. Скорость движения материальной точки. Две частицы движутся с ускорением g в однородном поле тяжести. В начальный момент времени частицы находились в одной точке и имели скорости 1 =3,0 м/c и 2 = 4,0 м/с, направленные горизонтально и в противоположные стороны. Найдите расстояние между частицами в момент, когда векторы их скоростей окажутся взаимно перпендикулярны.


Решение. Скорость частиц изменяется по закону 1	10	gt	и	2	20	gt .

Поэтому при движении горизонтальные составляющие скоростей частиц не изменяются. Поскольку за одно и тоже время частицы по вертикали сместятся на одинаковое расстояние, то расстояние между частицами в момент, когда векторы

их скоростей окажутся взаимно перпендикулярны , равно s ( 10																				20 )t.		Время t

найдем из условия									( 1 2 ) 0.

(		) (			gt) (				gt)		g 2t 2	0. Тогда	t	10 20		.	Следовательно,
(	2	) (			gt) (			20	gt)	20	g 2t 2	0. Тогда	t			.	Следовательно,
1	2		10					20	10	20					g
															g

s (					)	10 20			2,47 м.
s (				20	)				2,47 м.
		10		20			g
							g

													Ответ: s (						)	10 20		2,47 м.
													Ответ: s (					20	)			2,47 м.
																	10	20			g
																					g

Пример 9. Лодка движется по реке перпендикулярно берегу со скоростью υ = 2 м/с. Скорость течения реки и = 1 м/с. Ширина реки L = 90 м. Определить время, за которое лодка переплывет реку.

Дано:	Решение:
υ = 2 м/с	υ – это скорость лодки относительно подвижной
и = 1 м/с	системы отсчета К. В данной задаче подвижная система
L = 90 м.	отсчета это река.

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке РАЗДЕЛ №1. МЕХАНИКА

#
27.11.2024565.96 Кб61 Конспект лекции на тему КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ.pdf
#
27.11.2024809.68 Кб61 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ТЕМУ КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ.pdf
#
27.11.2024426.5 Кб61 Презентация лекции по теме КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ.ppt
#
27.11.2024402.23 Кб62 Конспект лекции на тему КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ.pdf
#
27.11.2024344.01 Кб62 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ТЕМУ КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ.pdf
#
27.11.2024386.56 Кб62 Презентация лекции по теме КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ.ppt
#
27.11.202422.24 Mб63 III ЗАКОН НЬЮТОНА. ГИРЯ НА РУКАХ.mp4