Аксонометрические проекции

Комплексный чертеж является графически простым и удобно измеряемым. Но по нему не всегда легко представить предмет в пространстве. Необходим чертеж, дающий и наглядное представление. Он может быть получен при проецировании предмета вместе с осями координат на одну плоскость. В этом случае на одной проекции можно получить наглядное и метрически определенное изображение. Такие виды изображений называют аксонометрическими проекциями.

Слово «аксонометрия» (от гр. axon - ось и metreo -измеряю) переводится как «измерение по осям».

Способ аксонометрического проецирования состоит в том, что фигура вместе с осями прямоугольных координат (к которым она отнесена в пространстве) проецируется на некоторую плоскость. Эту плоскость называют плоскостью аксонометрических проекций, или картинной плоскостью.

При проецировании фигуры проецирующие лучи могут выходить из одной точки – центральная аксонометрия или быть параллельными друг другу – параллельная аксоносметрия. В дальнейшем мы будем рассматривать только параллельную аксонометрию.

Построим аксонометрическую проекцию точки A, отнесенной к трем взаимно перпендикулярным плоскостям проекций (рис. 8.1).

Введем некоторые наименования:

Q - плоскость аксонометрических проекций (картинная плоскость);

l - направление проецирования;

α – угол наклона направления проецирования l к плоскости аксонометрических проекций Q (картинной плоскости).

Из точек o, ax, ay, az проведем проецирующие лучи до пересечения с плоскостью Q и найдем аксонометрические проекции этих точек o1, ax1, ay1, az1.

x1, y1, z1 - аксонометрические оси координат (аксонометрические оси);

A1 - аксонометрическая проекция точки A;

a1, a1', a1" - вторичные проекции точки A;

В зависимости от положения плоскостей проекций H, V, W, плоскости аксонометрических проекций Q и направления проецирования l координаты точки будут проецироваться с различными искажениями. Чтобы учесть эти факторы на осях координат отложим масштабные отрезки и построим их аксонометрические проекции.

ex, ey, ez - масштабные отрезки;

ex1, ey1, ez1 - аксонометрические (вторичные) проекции масштабных отрезков.

При построении аксонометрии фигуры учитывают не длины масштабных отрезков, а отношение длины аксонометрической проекции масштабного отрезка к его действительной величине. Эти отношения называются коэффициентом искажения по оси.

Обозначим эти коэффициенты:

по оси x m=ex1/ex по оси y n=ey1/ey по оси z k=ez1/ez

В зависимости от направления проецирования по отношению к плоскости аксонометрических проекций Q аксонометрические проекции делятся на:

• прямоугольные, если угол проецирования α = 90º;

• косоугольные, если α ≠ 90°.

Доказано, что сумма квадратов коэффициентов искажения удовлетворяет уравнениям:

• для косоугольной аксонометрии – m2+n2+k2=2+ctg2α;

• для прямоугольной аксонометрии – m2+n2+k2=2.

Основная теорема аксонометрии

Занимаясь теорией аксонометрии, немецкий геометр К. Польке в 1853 году предложил и доказал для частного случая теорему, названную основной теоремой аксонометрии: «Любые три отрезка, выходящие из одной точки на плоскости, могут быть приняты за параллельные проекции трех равных и взаимно перпендикулярных отрезков в пространстве». Доказательство этой теоремы в общем виде было дано в 1864 г. другим немецким геометром Г. Шварцем. С этого времени основная теорема аксонометрии стала называться теоремой Польке – Шварца.

Из рассмотренного выше можно вывести определение аксонометрии:

Аксонометрией называется изображение предмета на плоскости, отнесенное к определенной системе координат и выполненное в определенном масштабе с учетом коэффициентов искажения.

В зависимости от соотношения между коэффициентами искажения по осям различают следующие аксонометрические проекции:

• Изометрические, если m = n = k.

• Диметрические, если m =k ≠ n или m = n ≠ k.

• Триметрические, если m ≠ n ≠ k.

Наименование проекций произошло от древнегреческих слов:

«isos» - одинаковый (изометрическая проекция – проекция с одинаковыми коэффициентами искажения по всем трем осям);

«di» - двойной (диметрическая проекция - проекция с одинаковыми коэффициентами искажения по двум осям);

«treis» - три (триметрическая проекция - проекция с разными коэффициентами искажения по всем трем осям).