Числовой и цифровой контроль

Различают два вида контроля по модулю: числовой и цифровой.

Если для образования контрольного кода (КК) все число делится на модуль q, то контроль называется числовым: А º r  mod q.

Для модуля q = p ( р - основание системы счисления), то A º a0 mod p и контроль не имеет смысла, так как контролируется только младший разряд а0 числа А, а старшие разряды не принимают участия в образовании КК и ошибки в этих разрядах выявляться не будут. Также нецелесообразно применять модули q = 2^m, так как не все цифры участвуют в образовании остатка по данному модулю и любые ошибки в разрядах старше m-го обнаруживаться не будут.

Для дальнейшего уп­рощения контрольных операций предложен и широко применяется цифровой контроль по модулю, который в отличие от вышеизложенного числового контроля по мо­дулю основан на контроле по модулю суммы цифр, обра­зующих число. Поскольку разрядность суммы цифр боль­шого числа значительно меньше разрядности самого числа, операции вычисления остатка упрощаются, хотя дополнительно требуется операция для образования суммы цифр числа. Однако аналогов теорем 1 и 2 для суммы цифр операндов и результата сложения или ум­ножения не существует и поэтому цифровой контроль непосредственно применим только для контроля операции хранения и передачи чисел (за исключением класса модулей р^m – 1: 3, 7, 15).

Для образования цифры числа необходимо выполнить переход к новой системе счисления, т.е. разрядность цифры должна соответствовать разрядности модуля. Например, для модуля q = 3 цифра составляет два бита, для q = 5 и 7 – три бита, для q = 9, 11, 15 – четыре бита. Тогда для числа:

Модуль q = 3: 11010110 = 11.01.01.10 = (3 + 1 + 1 + 2) mod 3 = 1;

Модуль q = 7: 11010110 =11. 010.110 = (3 + 2 + 6) mod 7 = 4;

Модуль q = 15: 11010110 =1101.0110 = (D + 6) mod 15 = 4.

Особенно просто цифровой контроль реализуется в случае двоичных чисел, когда модуль q=2. Такой конт­роль называется контролем по четности. При контроле по четности остаток суммы цифр равен либо нулю, либо единице в зависимости от четности числа единиц в ис­ходном коде. В качестве контрольного остатка достаточ­но иметь один дополнительный разряд, называемый контрольным разрядом.

Д ля упрощения нахождения КК для числового контроля по модулю q нет необходимости все число делить на модуль, так как важно не само число или его веса разрядов, а их остаток rsi по модулю q:

Функцию rsi называют весовой функцией разряда и определяется выражением:

rsi º rsi-1 р mod q (8).

По формуле 8 производится расчет весовых функций всех разрядов числа. Весовые функции всегда имеют периодический характер. Для младшего разряда для любых значений р и q весовая функция равна 1, а далее вычисляется по формуле 8.

Пример: р = 2

rsi	q = 3	q = 5	q = 7	q = 9	q = 11	q = 15
rso rs1 rs2 rs3 rs4 rs5 rs6 rs7 rs8 rs9 rs10	1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1	1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4	1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2	1 2 4 8 7 5 1 2 4 8 7	1 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1	1 2 4 8 1 2 4 8 1 2 4
Период	2	4	3	6	10	4

Периодический характер весовых функций упрощает построение схем сверток для получения контрольного кода числа, так как достаточно построить схему свертки только для одного периода и в дальнейшем эта схема дублируется на всю разрядность числа.