13. Определение совместных событий. Теорема (Сложение вероятностей 2-х совместных событий).

Ранее мы сформулировали теорему сложения вероятностей для несовместных событий. Пусть события А и В совместны, т.е. появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании. Даны вероятности этих событий и вероятность их совместного появления. Как найти вероятность события А + В, состоящего в том, что появится хотя бы одно из событий А и В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероятностей совместных событий.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

14. Формула полной вероятности.

Пусть событие А может наступить при условии одного из несовместимых событий В1, В2, Вn, которые образуют полную группу событий. Пусть известны вероятности этих событий Р(В1)…а также известны условные вероятности Р(А/В1)… Возникает вопрос. Как найти вероятность события Р(А)? Т: Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместимых событий В1, В2, В3…Вn (причем эти события образуют полную группу) ровно сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А, т.е. Р(А)=Р(В1)*Р(А/В1)+Р(В2)*Р(А/В2)+…+Р(Вn)+Р(А/Вn) –ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ!

15. Формула Байеса.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В₁,В₂,В₃…, образующих полную группу.

Т.к. заранее неизвестно какое из этих событий наступает, то их называют гтпотетическими.

 – ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОТНОСТИ

Произошло испытание, в результате которого появилось событие А. Проверим как изменились вероятности гипотез, при условии, что событие А уже наступило.

Т.е. будем искать условные вероятности. Р(В₁/A), P(B₂/A)….P(B_n/A)

P(AB) = P(B)*P(A/B)

P(AB) = P(A)*P(B/A)

P(AB₁) = P(A)*P(B₁/A) = P(B₁)*P(A/B₁)

P(B₁/A)=

 – ФОРМУЛА БАЙЕСА

Формулы Байеса позволяют переоценивать вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появляется событие А.

16. Формула Бернулли.

Формулы теории вероятностей имеют смысл только в случае, когда возможно повторение испытаний достаточно большое число раз. Пусть производится пнезависимых испытаний и вероятность появления некоторого событияАв каждом из испытаний равнар = р (А) и не зависит от номера испытания. Пустьq = 1 – p, тогда вероятность того, что в п независимых испытаниях событиеАпроизойдет ровнотраз вычисляется по формуле Бернулли:

Рп(т) =   рт  qп-т.

17. Локальная теорема Лапласа.

При достаточно большом  формула Бернулли дает громоздкие вычисления. Поэтому в таких случаях применяют локальную теорему Лапласа.

Теорема (локальная теорема Лапласа). Если вероятностьpпоявления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие А появится вnнезависимых испытаниях ровноkраз, приближенно равна значению функции:

,

где

.

Имеются таблицы, в которых находятся значения функции  , для положительных значенийx.

Заметим, что функция  четна.

Итак, вероятность того, что событие А появится в nиспытаниях ровноkраз приближенно равна

, где .

18. Интегральная теорема Лапласа.

Если вероятность  наступления события в каждом испытании постоянна и удовлетворяет двойному неравенству , а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность может быть вычислена по следующей приближённой формуле

(14)  ,

где пределы интеграла определяются равенствами

Формула (14) тем точнее, чем больше число испытаний в данном эксперименте.

На основании равенство (13) формулу (14) можно переписать в виде

(15)  .

Далее, введём понятие нормированной функции Лапласа:

(16)   (Н.Ф.Л)

Отметим простейшие свойства функции  :

Последнее свойство связано со свойствами функции Гаусса  .

Функция  нечётна. Действительно, после замены переменных

= ;

Для проверки второго свойства достаточно сделать чертёж. Аналитически она связано с так называемым несобственным интегралом Пуассона.

Отсюда прямо следует, что для всех чисел  можно полагать что, следовательно, все значения этой функции расположены в отрезке [-0,5; 0,5], при этом наименьшим является затем функция медленно растёт и обращается в нуль, т.е. а затем возрастает до Следовательно, на всей числовой прямой является строго возрастающей функцией, т.е. если   то 

Следует отметить, что выводы свойства 2 для функции  обосновывается на основании несобственного интеграла Пуассона.

Замечание.При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа пользуются специальными таблицами. В таблице даны значения для положительных аргументов  и для ; для значений следует воспользоваться той же таблицей с учётом равенства

Далее, для того, чтобы воспользоваться таблицей функции  , преобразуем равенство (15), так:

И на основании свойства 2 (нечётности  ), с учётом чётности подынтегральной функции получим

= .

Таким образом, вероятность того, что событие  появится в независимых испытаниях не менее раз и не более раз, вычисляется формулой:

(17)  ;