Вопросы выходного контроля (зачета)

1. Определение достоверных, невозможных и случайных событий.

Опр: Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет при выполнении определенного комплекса условий.

Опр: Невозможным называется событие, которое никогда не произойдет при выполнении определенного комплекса условий.

Опр: Случайным называется событие, которое может либо произойти, либо не произойти при выполнении определенного комплекса условий.

2. Классическое определение вероятности.

Вероятностью события называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Вероятность события A обозначается через P (A). По определению P (A) = m, n.

3. Определение перестановок. Формула вычисления числа перестановок из n элементов.

Определение. Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определённом порядке.

Если среди элементов нет одинаковых, то число перестановок из n элементов обозначают символом P_n («пэ из эн») и вычисляют по формуле:

P_n = 1 · 2 · 3 · … · (n - 2) · (n - 1) · n.

Для произведения первых n натуральных чисел есть специальное обозначение n! («эн факториал»). При этом 0! принимается за единицу, то есть 0! = 1.

4. Определение размещений. Формула вычисления числа размещений из n элементов по m элементов.

Определение. Размещением из n элементов по k (k £ n) называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.

Если один и тот же элемент нельзя брать более одного раза, то число размещений из n элементов по k обозначают   («а из эн по ка») и вычисляют по формуле:

 = n · (n - 1) · (n - 2) · … · (n – k + 1).

5. Определение сочетаний. Формула вычисления числа сочетаний из n элементов по m элементов.

Определение. Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов. Здесь не важен порядок следования элементов, в отличие от размещений и перестановок.

Если среди данных n элементов нет одинаковых, то число сочетаний из n элементов по k обозначают   («цэ из эн по ка») и вычисляют по формуле:

6. 

7. Понятие суммы 2-х событий. Определение 2-х несовместных событий. Теорема (Сложение вероятностей 2-х несовместных событий).

Суммой 2х событий А и В называют событие С состоящее в появлении хотя бы одного из событий А ИЛИ В

Теорема 1.Сложение вероятностей 2х несовместных событий

Вероятность суммы двух несовм событий А и В равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Если число несовм событий не 2, а более,то данная теорема справедлива,т.е.:

Р(сверху n,снизу i=1)А_i=(сверху n,снизу i=1) Р(А_i)

8. Определение полной группы событий. Теорема (Сумма вероятностей полной группы несовместных событий).

9. Теорема. Сумма вероятностей событий А₁, А₂, …, А_n, образующих полную группу, равна единице:

Р(А₁) + Р(А₂) + …+ Р(А_n) = 1 или  . (2.5)

Доказательство. Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то

Р(А₁ + А₂ +…+ А_n) = 1 (2.6)

Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения:

Р(А₁ + А₂ +…+ А_n) = Р(А₁) + Р(А₂) + …+ Р(А_n). (2.7)

Сравнивая (2.6) и (2.7), получим

Р(А₁) + Р(А₂) + …+ Р(А_n) = 1.

10. Определение противоположных событий. Теорема (Сумма вероятностей противоположных событий).

Противоположными называют 2 единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из противоположных обозначают А, то другое (не)А. (не А – А с черточкой, надеюсь знаете=)) Теорема: Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Р(А)+Р(В)= 1. Пример: вероятность того, что день будет дождливым 0,7. Найти вер.того, что день будет ясным. А - дождь, (не)А – солнце. 0,7 + Р(неА) = 1. Р(неА) = 1- 0,7 = 0,3.

11. Понятие произведения 2-х событий. Определение независимых событий. Теорема (Умножение вероятностей 2-х независимых событий). Определение попарно независимых событий, событий независимых в совокупности.

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении этих двух событий. Теорема: Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Р(АВ) = Р(А) * Р(В) Пример: Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет. А – появление герба при бросании первой монеты. В – герб при брос. Второй монеты. Р(А) = ½ Р(В) = ½ Р(АВ) = Р(А) * Р(В) = ½ * ½ = ¼

12. Определение зависимых событий. Определение условной вероятности события. Теорема (Умножение вероятностей 2-х зависимых событий).

Случайные события А и В называются зависимыми, если появление одного из них, например, А изменяет вероятность появления другого события – В. Поэтому для зависимых событий используются два значения вероятности: безусловная и условная вероятности.

Если А и В зависимые события, то вероятность наступления события В первым (т.е. до события А) называется безусловной вероятностью этого события и обозначается Р(В). Вероятность наступления события В при условии, что событие А уже произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается Р(В/А) или Р_А (В).

Аналогичный смысл имеют безусловная – Р(А) и условная – Р(А/В) вероятности для события А.

Теорема умножения вероятностей для двух зависимых событий: вероятность одновременного наступления двух зависимых событий А и В равна произведению безусловной вероятности первого события на условную вероятность второго:

Р(А и В) = Р(А) ∙Р(В/А) , (8) если первым наступает событие А, или Р(А и В) = Р(В) ∙Р(А/В), (9) если первым наступает событие В.