2к4с Математическая статистика и прогнозирование / Конспект лекций

Стьюдента при n1+n2–2 степенях свободы и вероятности 2α. Если Tнабл < Tкр, то принимается нулевая гипотеза. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

Tкр(2α, n1 + n2 – 2) находим по таблице критических точек распределения Стьюдента при n1+n2–2 степенях свободы и вероятности 2α. Если Tнабл > –T кр, то принимается нулевая гипотеза. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

ТЕМА 3. РЕГРЕССИОННЫЙ И КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

Лекция 6. Выборочные уравнения регрессии

другой переменной, имеющее определенное распределение, называется статистической. Статистические связи между переменными изучаются

методами корреляционного и регрессионного анализа. Основной задачей

регрессионного анализа является установление формы и изучение

зависимости между переменными, корреляционного анализа – выявление связи между случайными переменными и оценка ее тесноты. В

регрессионном анализе рассматривается зависимость случайного результативного признака y от неслучайных факторных признаков x1, x2, ..., xn. В случае единственного факторного признака x различают следующие виды регрессий: линейную, гиперболическую, показательную, степенную,

логарифмическую, параболическую и т.д. Предположим, что для оценки параметров регрессии взята выборка, содержащая n пар значений (xi, yi), где i

= 1, 2, … , n. Оценкой предложенных выше уравнений регрессии являются выборочные уравнения регрессии:

соответствующих параметров исходного уравнения и могут быть найдены на основе метода наименьших квадратов.

Регрессионную модель удобно представлять графически. Для этого на координатной плоскости откладываются точки Pi (xi, yi), (i = 1, 2, … , n) (рис. 4.1). Полученный график называется диаграммой рассеивания.

Построив диаграмму рассеяния, можно подобрать вид уравнения регрессии. На рис. 4.1 для одних и тех же экспериментальных точек построены линейная и показательная регрессии. Видим, что экспериментальные точки располагаются ближе к линии = 0 1 , чем к прямой. Следовательно, можно сделать вывод, что показательная регрессия более адекватно описывает фактические данные, чем линейная.

Однако по графику можно только приближенно сделать вывод о качестве той или иной модели. Для более точной оценки адекватности

(значимости) уравнения регрессии на уровне значимости α вычисляют наблюдаемое значение случайной величины

Далее находим критическое значение критерия F(α, 1; n – 2) по таблице критических точек распределения Фишера (приложение 4) при k1=1, k2 = n – 2 степенях свободы и уровне значимости α. Если Fнабл > F(α; 1; n

– 2), то уравнение регрессии признается значимым, в противном случае уравнение регрессии признается незначимым, т.е. статистически подтверждается отсутствие линейной связи между факторным и результативным признаком.

Лекция 7. Модель линейной регрессии

Рассмотрим более подробно линейное уравнение регрессии.

Сущность метода наименьших квадратов заключается в нахождении

параметров модели a0, a1, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических, полученных по выборочному уравнению регрессии

Все предложенные выше виды нелинейных регрессий (кроме параболической) могут быть сведены к линейной путем какой-либо замены

переменной. Для гиперболической регрессии вводится переменная x′= 1/x,

для логарифмической регрессии x′= lnx , уравнения показательной и степенной регрессии предварительно логарифмируют.

В качестве универсального показателя тесноты связи между величинами x и y используется выборочный линейный коэффициент корреляции

Здесь sx и sy – средние квадратические отклонения соответствующих признаков (факторного и результативного).

Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах –1 ≤ r ≤ 1.

Если r > 0, то связь между переменными x и у прямая, если r < 0, то связь между переменными x и у обратная. При r = 0 связь между переменными отсутствует. При |r| = 1 связь между x и у функциональная, т.е.

наблюдаемые значения располагаются точно на прямой.

Пусть вычисленное значение r≠ 0. Проверим гипотезу H0 об отсутствии линейной корреляционной связи между переменными, т.е. H0: ρ= 0 при альтернативной гипотезе H1: ρ ≠ 0. Для проверки этой гипотезы на уровне значимости α вычисляют наблюдаемое значение критерия

набл = √1|−| 2 √ − 2. (4.6)

Критическое значение критерия T(1–α, n–2) находят по таблице критических точек распределения Стьюдента (приложение 2) для числа степеней свободы n – 2 и уровня значимости α. Если Tнабл < T(α, n – 2), то гипотеза H0 принимается, в противном случае гипотеза H0 отвергается, т.е.

коэффициент корреляции признается существенно отличающимся от нуля.

По уравнению линейной регрессии можно получить точечный и интервальный прогнозы.

Точечный прогноз заключается в получении прогнозного значения уp,

которое определяется путем подстановки в уравнение регрессии ̂ = 0 +

1 соответствующего (прогнозного) значения xp

̂р = 0 + 1 р.

Интервальный прогноз заключается в построении доверительного интервала прогноза, т. е. нижней и верхней границ уpmin, уpmax интервала,

содержащего точную величину для прогнозного значения ̂р (̂р < ̂р <

затем строится доверительный интервал прогноза, т. е. определяются нижняя

̂р и верхняя ̂р границы интервала прогноза

̂р = ̂р − ̂р, ̂р = ̂р + ̂р,

где ̂р = ∙ ̂р, значение t находят по таблице критических точек распределения Стьюдента для числа степеней свободы n–2 и уровня значимости α.

ТЕМА 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ И

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ Лекция 8-9. Моделирование временных рядов

Временным рядом (рядом динамики, динамическим рядом)

называется упорядоченная во времени последовательность численных показателей{(yi,ti), i=1,2,...,n}, характеризующих уровни развития изучаемого явления в последовательные моменты или периоды времени.

Величины yi называются уровнями ряда, а ti – временными метками

(моменты или интервалы наблюдения). Обычно рассматриваются временные ряды с равными интервалами между наблюдениями, в качестве значений ti

берутся порядковые номера наблюдений и временной ряд представляется в

закономерностей в изменении уровней ряда и построении его модели в целях прогнозирования и исследования взаимосвязей между явлениями.

Моделирование тенденции временного ряда начинается с проверки

тенденции, применяется сглаживание временного ряда.

Сглаживание временного ряда по методу скользящей средней

где уt – фактическое значение уровня исходного ряда в момент t; y′t –

значение скользящей средней в момент t; 2р+1- длина интервала сглаживания. Формула (5.5) при интервалах сглаживания g = 3 и g = 5

принимает вид

2) Четный интервал сглаживания g = 2p:

Формула (5.6) при интервалах сглаживания g = 2 и g = 4 принимает вид

При использовании скользящей средней с длиной активного участка g = 2p+1 первые и последние р уровней ряда сгладить нельзя, их значения теряются. Для восстановления потерянных значений временного ряда можно использовать следующий прием:

а) Вычисляется средний прирост ∆у на последнем активном участке

временного ряда с помощью последовательного прибавления среднего абсолютного прироста ∆у к последнему сглаженному значению y′n–p

′ − +1 = ′ − + ∆ , ′ − +2 = ′ − +1 + ∆ , … , ′ = ′ −1+∆ .

Аналогичная процедура применяется для восстановления первых р уровней временного ряда.

Аналитическим выравниванием временного ряда называют

нахождение аналитической функции ŷ = f(t), характеризующей основную

тенденцию изменения уровней ряда с течением времени. Сама функция f(t)

носит название кривой роста.

Чаще всего в качестве кривой роста применяются следующие

Построение таких функций аналогично построению уравнений парной

регрессии (линейной или нелинейной) с учетом того, что в качестве зависимой переменной используются фактические уровни временного ряда yt

, а в качестве независимой переменной моменты времени t = 1,2, ..., n.