2к4с Математическая статистика и прогнозирование / МУ к практической работе 2

Цель работы: научиться определять точечные и интервальные оценки параметров распределения с использованием MS Excel.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Если закон распределения случайной величины неизвестен, то мы не сможем вычислить числовые характеристики. В этом случае их заменяют оценками, полученными как функции выборки x x1 , x2 ,..., xn . Всякую функцию tn x от выборки называют статистикой. Подходящую статистику используют в качестве оценки числовой характеристики. Чаще всего оценками начальных и центральных моментов служат соответствующие выборочные начальные и центральные моменты.

Метод моментов – метод получения оценок параметров, который состоит в том, что если оцениваемый параметр распределения является функцией от моментов распределения (в самом простом случае сам является моментом), то в эту функцию просто подставляются эмпирические значения моментов, а

полученное значение берется в качестве оценки для параметра.

Вычисление моментов эмпирического распределения согласно таблице 1

производится по следующим формулам (n – объем выборки):

2

Первый начальный момент или математическое ожидание выборки α1 – это введенное нами ранее среднее значение выборки, которое мы обозначили через x . Второй центральный момент µ2 - выборочная дисперсия S2.

Третий и четвертый центральные моменты служат для определения асимметрии A распределения и эксцесса E (меры островершинности)

распределения:

А = 33

= 44 − 3

Выборочные эксцесс и асимметрия являются показателями,

характеризующими форму распределения.

Эксцесс — это степень выраженности «хвостов» распределения, то есть частоты появления удаленных от среднего значений.

Асимметрия — величина, характеризующая несимметричность распределения элементов выборки относительно среднего значения. В случае симметричного распределения асимметрия равна 0.

Чтобы иметь практическую ценность, оценка некоторого параметра должна удовлетворять следующим требованиям:

1. Оценка tn x должна приближаться к оцениваемому параметру по мере увеличения объема выборки. Если оценка стремится по вероятности к оцениваемому параметру, то она называется состоятельной.

2.Оценка не должна содержать систематической ошибки. Это означает, что

еематематическое ожидание должно совпадать с оцениваемым параметром ,

3. Из всех состоятельных и несмещенных оценок предпочтительнее та,

которая имеет наименьшую дисперсию. Такая оценка называется эффективной.

Приведенные выше статистики являются состоятельными оценками соответствующих численных характеристик истинного распределения, т.е. при возрастании n сходятся по вероятности к соответствующим значениям. Однако

3

выборочная дисперсия является смещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности.

Согласно методу моментов оценкой для математического ожидания

значение параметра θ. Такой интервал называется доверительным, а

вероятность γ называется доверительной вероятностью, или надежностью оценки.

Границы доверительного интервала и его длина находятся по

выборочным данным, и являются случайными величинами. Величина

доверительного интервала уменьшается с ростом объема выборки n и

увеличивается с ростом доверительной вероятности γ. Если количественный

где число t определяется из равенства Φ(t) = γ/2, т.е. по таблице функции

Лапласа (приложение 1) находят значение аргумента t, которому соответствует значение функции Лапласа γ/2.

В случае, когда генеральная дисперсия неизвестна, а известна лишь ее

4

где значение числа T(1 – γ; n –1) определяется по таблице критических точек распределения Стьюдента (приложение 2) при уровне вероятности α=1– γ

и числе степеней свободы n–1.

Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения σ нормального распределения имеет вид

распределения χ2 (приложение 3) при числе степеней свободы n–1 и уровнях вероятности (1 + γ) /2 и (1 – γ) /2 соответственно.

ТРЕБОВАНИЯ БЕЗОПАСНОСТИ ТРУДА

При выполнении практической работы необходимо соблюдать общие правила техники безопасности:

использовать ПК только в соответствии с их назначением;

не размещать на корпусе ПК посторонние предметы (тетради, книги,

карандаши и т.п.);

оберегать ПК от толчков, ударов, сотрясений;

немедленно поставить в известность оператора ИВЦ об обнаружении задымления, загорания, пожара;

немедленно сообщить оператору ИВЦ обо всех неисправностях в работе ПК.

ТЕХНОЛОГИЯ ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Скопируйте данные из диапазона F1:M9 на новый рабочий лист (рис.1).

Заполняем столбцы G и H по формулам (xi x)3 mi и (xi x)4 mi .

Для определения исправленной дисперсии в ячейку В13 вводим формулу

=B12*B9/(B9-1). В ячейке В14 вычисляем исправленное среднее квадратическое отклонение =КОРЕНЬ(B13).

5

Для определения ассиметрии в ячейку В15 вводим формулу

=G9/(B9*B14^3). Т.к. полученное значение ассиметрии равно 1,4, то данное распределение не является симметричным.

Для определения эксцесса в ячейку В16 вводим формулу

=H9/(B9*B14^4)-3. Т.к. полученное значение эксцесса равно -0,6, то данное распределение близко к нормальному.

Рис.1.

Построим доверительный интервал для генеральной средней с уровнем доверительной вероятности γ = 0,95. Так как значение генеральной дисперсии

неизвестно, пользуемся формулой = (1− ; −1) . Найдем значение t1–γ,n–1 =

√

t0,05;29 по таблице критических точек распределения Стьюдента (приложение 2)

при уровне вероятности α = 0,05 и числе степеней свободы k = n – 1 = 29 или с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(0,05;В9-1) (рис.2). Получаем t0,05;29 = 2,04. В ячейке В22 находим точность оценки =E11*B14/КОРЕНЬ(B9).

Получили ≈ 25,13.

6

Доверительный интервал для генеральной средней имеет вид ̅ ( ̅− ;

В

̅+ ). Нижнюю границу интервала находим по формуле =B11-B22, верхнюю

В

границу - по формуле =B11+B22.

Получаем, что с вероятностью 0,95 ̅ (68,6; 118,86) .

Нижнюю границу интервала находим по формуле =B14*КОРЕНЬ(B9- 1)/D27, верхнюю границу - по формуле =B14*КОРЕНЬ(B9-1)/D26.

Получаем, что с вероятностью 0,95 (53,6; 90,475);

7

Рис.3

СОДЕРЖАНИЕ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА

Отчет по практической работе должен содержать решение задач по вычислению числовых характеристик выборки с использованием MS Excel.

Отчет по практической работе предоставляется на листах формата А4 или в электронной форме. Содержание отчета: титульный лист с названием работы,

цель работы, задание, результаты выполнения работы, выводы по работе.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1.Точечные оценки параметров распределения.

2.Метод моментов.

3.Начальные моменты.

4.Центральные моменты.

5.Свойства оценок.

6.Определение доверительного интервала.

7.Схема построения доверительного интервала.

8.Построение доверительных интервалов для параметров нормального распределения.

ВРЕМЯ, ОТВЕДЕННОЕ НА ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

Подготовка к работе – 1 акад. час Выполнение работы – 7 акад. часов Оформление работы – 1 акад. часа

8

ЛИТЕРАТУРА

1.Горлач, Б.А. Теория вероятностей и математическая статистика. [Электронный ресурс] / Б.А. Горлач. – М.: Издательство «Лань». - 2013. – 320с.

2.Монсик, В.Б. Вероятность и статистика [Электронный ресурс] / В.Б.

Монсик, А.А. Скрынников. - М.: «Бином. Лаборатория знаний». – 2013. – 281с.

3. Свешников, А.А. Сборник задач по теории вероятностей,

математической статистике и теории случайных функций [Электронный ресурс] / А.А. Свешников – М.: Издательство «Лань». - 2013. – 448.

4.Лагутин, М.Б. Наглядная математическая статистика. [Электронный ресурс] / М.Б. Лагутин. – М.: «Бином. Лаборатория знаний». – 2013. – 472с.

5.Буре, В.М. Теория вероятностей и математическая статистика. [Электронный ресурс] / В.М. Буре, Е.М. Парилина. – М.: Издательство «Лань».

-2013. – 416с.

6.Хуснутдинов, Р.Ш. Сборник задач по курсу теории вероятностей и математичсекой статистики. [Электронный ресурс] / Р.Ш. Хуснутдинов. – М.:

Издательство «Лань». - 2014. – 320с.

9

Приложение 1