2к4с Исследование операций / МУ к практической работе 3

Основные типы внешних штрафов.

Квадратичный штраф используется для учета ограничений– равенств вида:

H = R·(h (x))2. (2.4)

При минимизации этот штраф препятствует отклонению величины h(x) от нуля (как вправо, так и влево). Ниже будет видно, что при увеличении R

стационарная точка соответствующей штрафной функции P (x, R) приближается к точке x*, т.к. в пределе h(xk) = 0. Поскольку допустимая область S определяется ограничением h(x) = 0, то в допустимой области значение штрафа H = 0, а вне допустимой области H > 0 и тем больше, чем дальше точка xt выйдет за пределы допустимой области и чем больше R.

Рис. 2.3 – Квадратичный штраф

Штраф типа квадрата срезки

11

При этом необходимо установить, как именно будет изменяться R при переходе от одной подзадачи к другой. Например, для обычного квадратичного штрафа, учитывающего ограничения равенства, целесообразно начинать с R = 0, т.е. безусловной минимизации функции, а затем последовательно увеличивать R на некоторое R. Вычислительные эксперименты показывают, что точно найденная стационарная точка xt (R) перемещается вдоль некоторой гладкой кривой к точке x*.

С другой стороны, пересчет параметра R, имеющий целью обеспечить сходимость метода, автоматически приводит к ухудшению обусловленности вспомогательных задач (появление овражной структуры штрафной функции). Во многих методах безусловной оптимизации используется матрица Гессе – 2P (x, R). Показано, что часть собственных значений этой матрицы зависит от величины R. При этом обусловленность матрицы Гессе 2P (x, R) неограниченно ухудшается, когда R→∞. Тем самым усложняется процесс решения вспомогательных задач безусловной оптимизации.

Алгоритмы Построение эффективных алгоритмов на основе метода

штрафных функций не представляет особых трудностей. Приведем простейший алгоритм, в котором используется штрафная функция:

Шаг 1: задать значения n, m, p, ε1, ε2, ε3, x0, R0,

где n – размерность вектора x;

m – число ограничений–неравенств; p – число ограничений–равенств;

ε1 – параметр окончания одномерного поиска; ε2 – параметр окончания процедуры безусловной минимиза-

ции; ε3 − параметр окончания работы алгоритма;

x0 – начальное приближение для x*;

R0 – начальный вектор штрафных параметров.

Шаг 2: Построить P (x, R) = f (x) + H (R, g(x), h(x)).

13

Шаг 3: Найти значение xt+1, доставляющее минимум функ-

ции P(xt+1, Rt)

при фиксированном Rt. В качестве начальной точки использовать xt, в качестве параметра окончания шага – константу ε2.

Шаг 4: Проверка выполнения условия:

|P (xt +1, Rt)− P (xt, Rt −1)| ≤ ε3.

Да: положить xk = xt+1 → конец. Нет: → Шаг 5.

Шаг 5: Положить Rt+1 = Rt + Rt в соответствии с используемым правилом пересчета n → Шаг 2.

При наличии ограничений в форме неравенств и равенств используют следующие штрафные функции:

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Задача 1. Решите задачу нелинейного программирования ме-

14

15

16

17

18

19

Задача 2 Решение задачи нелинейного программирования методом штрафных функций

20