Филлипов, решение ряда задач / 12. Линейные уравнения с переменными коэф. / 686

№686

Решить уравнение

Решение

Будем подбирать частное решение уравнения в виде многочлена . Для определения степени n вычисляем коэффициент при старшей степени при подстановке решения в уравнения и приравниваем его к 0:

Таким образом, частное решение следует искать в виде . Найдем неизвестный коэффициент b. Для этого подставим данное решение в исходное уравнение:

Откуда . Следовательно, частным решением уравнения является

Общее решение уравнения будем искать, исходя из формулы Остроградского-Лиувиля, подставив туда вместо найденное частное решение:

Получили обычное линейное уравнение. 

Решаем его. Для этого решаем вначале однородное уравнение

Находим решение неоднородного уравнения

Ответ: