12. Теорема Римана об условно сходящихся рядах

Пусть дано число А. Если с действительными членами сходится условно, то существует взаимно однозначное, что

Доказательство:

, = ; | |

-расходится

-расходится

, ,

{ } { } = N (объединение)

=

=

-

13. Дифференциальное уравнение и система дифференциальных уравнений. Постановки задач. Задача Коши. Сведение уравнения к системе.

F(x,y,y’)=0 - общий вид дифференциального уравнения 1-го порядка

y’=f(x,y) – уравнение, разрешённое относительно производной

F(x,y,y’, … ,y⁽ⁿ⁾)=0 - общий вид дифференциального уравнение n-го порядка

y’=f(x,y,y’, … ,y⁽ⁿ⁾) - уравнение n-го порядка, разрешённое относительно старшей производной

Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения:

Пусть давно уравнение y’=f(x,y) и функция f(x,y) в некоторой области G непрерывная по x, удовлетворяющая условию Липшица по y, то через каждую точку (x₀,y₀)∈G проходит единственная интегральная кривая.

Условие Липшица:

f(x) удовлетворяет условию Липшица, если ∃L, что |f(x₁)-f(x₂)|<=L*|x₁ – x₂|

Система дифференциальных уравнений:

, x₁, x₂, … , x_n – аргументы

F(x₁, … , x_n, u, ) =0 – уравнение в частных производных

Сведение уравнения к системе:

Всякое уравнение n-го порядка сводится к системе из n уравнений 1-го прядка.

1. F(x, y’, … , y⁽ⁿ⁾)=0

Пусть : y₀=y

y₁=y’

y₂=y⁽²⁾

………..

y_n-1=y^(n-1) - вводим эти функции

2. F(x, y₀, y₁, … , y_n-1, y’_n-1)=0

Если y(x) удовлетворяет (1), то y₁, y', … ,y^(n-1) удовлетворяет системе.

Если y₀, y₁, … , y_n-1 удовлетворяет системе, то y₀ удовлетворяет уравнению.

Задача Коши:

Найти решение y(x), удовлетворяющее условию:

y(x₀) =a₀

y’(x₀) =a₁

……..

y^(n-1)(x₀)=a_n-1

y⁽ⁿ⁾(x₀) =a_n

y₁(x)

y₂(x)

… - решение или

y_n(x)

14. Уравнение с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными , если функцию f(x,y) можно представить в виде произведения двух функций зависящих только от x и y , где A(x) и B(y) – непрерывные функции.

Рассмотрев y’ как отношения дифференциалов , перенесем dx в правую часть и разделим на B(y) :

Нужно убедиться что , иначе случится потеря решения.

Теперь переменные разделены и мы можем проинтегрировать:

В итоге получаем выражение , описывающее общее решение уравнения с разделяющимися переменными.

15. Однородные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка называются однородным , если правая часть удовлетворяет соотношению f(tx,ty) = f(x,y) для всех t.

Другими словами, правая часть должна являться однородной функцией нулевого порядка по отношению к x и y.

Однородное диф. уравнение можно записать в виде или через дифференциал

.

Функция A(x,y) называется однородной функцией порядка n , если для всех t > 0 справедливо следующее:

Однородное диф. ур. Можно решить с помощью подстановки , которая преобразует в однородное с разд. Переменными.

Если f(u) - u=0 имеет корни, то они тоже являются решениями