28. Потенциал поля. Условие потенциальности.
Определение.
Поле
,
заданное на множестве
,
называется потенциальным, если существует
скалярная поле
,
заданное на
,
дифференцируемое, такое, что
.
То
есть, если
,
то
,
,
.
Теорема. Условие потенциальности. Пусть задано непрерывное на векторное поле , тогда эквивалентны следующие утверждения:
1) - потенциально
2)
,
где
- замкнутая, кусочно-гладкая.
3)
,
где
- кусочно-гладкие, соединяющие
и
- то есть криволинейный интеграл второго
рода не зависит от пути.
4)
Если
- односвязно,
- непрерывно-дифференцируемое, то
.
Доказывать
будем по такой цепочке:
.
Доказательство.
Нам
дано
-
все те же рассуждения можно провести и
в обратную сторону.
.
Н
ам
дано, что поле
-
потенциально, следовательно
,
,
.
Нужно доказать, что интеграл по
от него не зависит, а зависит только от
начального и конечного положения точек.
Введем
параметризацию
:
,
,
,
где
.
-
что и требовалось доказать.
Т
.к.
у нас значение интеграла не зависит от
пути, тогда обозначим через
.
– Нам надо доказать, что это и есть
потенциал.
Нам надо доказать, что , а остальное аналогично.
Т.к.
А – внутренняя точка, значит найдется
шар, который целиком лежит в этой области,
значит мы можем приблизиться к этой
точке по отрезку прямой, параллельной
оси
(см. рис). Получаем:
.
Теор.Если поле потенциально, то его рабата не зависит от формы пути, а определяется только начальной и конечной точками.
Док.
Пусть кривая задана параметрически:
.
Следствие. Если поле потенциально, то работа по замкнутому пути равна нулю.
Справедливо и обратное утверждение – если работа поля не зависит от формы пути, то поле потенциально.
Теор.
(Признак потенциальности) Для того,
чтобы непрерывно дифференцируемое поле
,
заданное на односвязной области
,
было потенциальным, необходимо и
достаточно, чтобы
.
Док.
(Достаточность) Пусть поле потенциально,
т.е.
,
тогда
.
Расписать ротор от градиента по координатам и воспользоваться равенством смешанных производных.
(Достаточность). Если , то поле потенциально, т.е. его работа по замкнутому пути равна нулю.
Следует из теоремы Стокса.
Пример.
- магнитное поле длинного провода с
током, направленном по оси
,
где:
-
но поле не является потенциальным.
Действительно, его работа по замкнутой
окружности
равна
.
Последняя теорема не применима, т.к. наша область с выколотой осью не является односвязной.