подгон 2018 (легендарный) / 1 курс-20241122T213915Z-001 / _2_ Физика / 1 семестр / Лекции / Lec1

Лекция 1. Кинематика материальной точки

Модуль 1.1. Механика

Лекция 1 Кинематика материальной точки

§ 1.1 Основные понятия

►Механика – раздел физики, изучающий движение тел в пространстве и во времени.

Понятия пространства и времени являются в механике исходными, их невозможно определить через другие более простые понятия.

►Свойства пространства: трехмерно, однородно и изотропно.

►Свойства времени: одномерно, однородно, направлено в одну сторону (может только увеличиваться).

Положение тела в пространстве определяется по отношению к другим телам.

►Тело отсчета – тело, служащее для определения положения других тел.

►Система отсчета – совокупность тела отсчета, связанных с ним координат и синхронизованных между собой часов.

►Кинематика – раздел механики, описывающий движение тел, отвлекаясь от причин, его вызывающих.

Другими словами, в кинематике не рассматриваются понятия массы и силы.

►Материальная точка – тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

►Траектория – множество точек пространства, пройденных материальной точкой в процессе движения.

►Путь S – длина траектории.

►Закон движения – функция времени, описывающая положение материальной точки в пространстве.

§ 1.2. Прямолинейное движение

Простейшая траектория – прямая линия. Выберем ось X так, чтобы она совпадала с траекторией. Тогда закон движения принимает вид: , где x – координата точки на выбранной оси.

!! Замечание: координата x – величина алгебраическая, т.е. может иметь и отрицательный знак (в отличие, например, от пути или длины, которые всегда положительны).

Р авномерное движение

►Равномерное движение – за любые одинаковые промежутки времени точка проходит одинаковые расстояния.

Проиллюстрируем такое движение графически (см. рис.). Обозначим начальную координату x₀. По определению за одинаковые промежутки времени Δt точка изменяет координату на одинаковую величину Δx. Нанесем эти точки на график. Видно, что график закона движения – прямая линия. Общее уравнение прямой: , что в нашем случае принимает вид . Смысл коэффициентов:

• b – значение функции при . Очевидно

• k – угловой коэффициент прямой: . Назовем эту величину скоростью:

Тогда закон движения для равномерного прямолинейного движения примет вид:

!! Замечание: Нельзя называть скорость тангенсом угла наклона (тангенс – величина безразмерная, а скорость имеет размерность). Правильное название – угловой коэффициент [прямой].

Неравномерное прямолинейное движение

Т еперь наклон кривой будет со временем изменяться. Нам нужна величина, характеризующая этот наклон. Выражение для этой цели не годится.

►Средняя скорость за время :

А нас интересует мгновенная скорость – скорость в момент t. Для её нахождения можно взять формулу для средней скорости и как можно сильнее сократить время : . Из курса высшей математики известно, что это определение производной по времени функции : .

Мы будем чаще использовать другое обозначение для производной: . Его смысл:

• – бесконечно малое приращение времени.

• – приращение координаты за время (очевидно, что оно тоже бесконечно малое).

►Скорость – производная координаты по времени:

►Геометрический смысл скорости (и производной) – угловой коэффициент касательной к графику функции .

Скорость непостоянна, введем величину, характеризующую скорость её изменения – ускорение. По аналогии с предыдущими рассуждениями:

►Ускорение – производная скорости по времени:

Мы рассмотрели подробно прямолинейное движение, чтобы уяснить себе физический смысл скорости и ускорения. Теперь перейдем к общему случаю непрямолинейного движения.

§ 1.3 Радиус-вектор и вектор скорости.

Положение материальной точки в пространстве описывается с помощью радиус-вектора

►Радиус-вектор – вектор, проведенный из начала координат в текущее положение материальной точки.

Закон движения в этом случае принимает вид:

► Перемещение – вектор, направленный от начальной точки к конечной: .

►Вектор средней скорости: .

Для прямолинейного движения мы ввели понятие скорости как производной от координаты. Аналогичным образом можно ввести:

► Вектор мгновенной скорости: ;

Из рисунка видно, что при стремлении в конце концов вектор будет лежать на траектории. Отсюда вытекает:

Свойства вектора мгновенной скорости:

1. Всегда направлен по касательной к траектории. 2.

!! Замечание: Для нахождения средней величины скорости нужно перейти от производной – отношения бесконечно малых – к отношению конечных величин:

►Средний модуль скорости:

Не путать с модулем средней скорости . Они не всегда равны!!! .

Пример: Двигаясь с переменной скоростью, материальная точка за прошла половину окружности радиуса . Найдем модуль средней скорости и средний модуль скорости:

;

►Вектор ускорения: .

Куда направлен вектор ускорения? Очевидно, что при прямолинейном движении вектор ускорения лежит на прямолинейной траектории. Рассмотрим более любопытный случай.

§ 1.4. Равномерное движение по окружности.

М атериальная точка движется по окружности радиуса R с постоянной по величине скоростью V. Определим направление и величину вектора ускорения. По определению ускорения:

Из построения, показанного на рисунке, видно, что вектор направлен к центру окружности. Очевидно, туда же направлен и вектор ускорения. Для расчета величины ускорения используем подобие треугольников: ABC и треугольника скоростей :

►При равномерном движении точки по окружности её вектор ускорения направлен к центру окружности, равен по величине и называется центростремительным.

Пример: в постоянном магнитном поле на заряженную частицу действует сила Лоренца, всегда направленная перпендикулярно скорости. Создаваемое этой силой ускорение является по своей сути центростремительным. В результате частица движется по окружности.

§ 1.5. Тангенциальное и нормальное ускорения

Направление ускорения в общем случае очень удобно указывать не в лабораторной декартовой системе координат (см. § 1.5), а в подвижной системе, привязанной к траектории:

►Тангенциальная ось направлена по касательной к траектории. – единичный вектор тангенциальной оси.

►Нормальная ось направлена перпендикулярно траектории. – единичный вектор нормальной оси.

Поскольку скорость направлена по касательной к траектории, то можно записать:

Вычислим вектор ускорения точки, продифференцировав вектор скорости:

Можно показать: , где R – радиус кривизны траектории (см. И1 §1.1). И мы получим:

, где

► – тангенциальное ускорение (касательное к траектории).

► – нормальное ускорение (перпендикулярное касательной к траектории).

Способы расчета:

1 ) где R – радиус кривизны траектории.

2) Так как скорость всегда направлена по касательной, угол φ – не что иное, как угол между скоростью и ускорением (см. рисунок): ; .

Физический смысл:

• Нормальное ускорение описывает изменение направления движения. Например, для прямолинейного движения:

• Тангенциальное ускорение описывает изменение скорости по модулю. Например, для равномерного движения:

§ 1.6. Координатное представление

Разложим радиус-вектор по осям декартовой системы координат. Пусть – единичные вектора соответствующих осей. Тогда: ,

где – проекции радиус-вектора на соответствующие оси (координаты мат. точки). Для получения вектора скорости формально продифференцируем радиус-вектор:

Фактически мы получили разложение вектора скорости по осям координат:

1. где . .

Совершенно аналогично можно записать формулы для вектора ускорения:

2. где .

3. Тангенциальное ускорение: или

4. Нормальное ускорение и радиус кривизны: ;

Литература:

Л-1. И. Е. Иродов. Механика. Основные законы: Учебное пособие для вузов. – М.: Бином. Лаборатория базовых знаний, 2007.

Л-7. И. В. Савельев. Курс общей физики: Учеб. пособие для втузов: В 5-ти кн.. Кн. 1 : Механика / Савельев И.В.. - М. : Астрель : АСТ, 2008. - 336 с.

1-5

Модуль 1.1 Механика