Добавил:
ИВТ (советую зайти в "Несортированное") Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

лаб 3 / Laboratornaya_rabota_3

.pdf
Скачиваний:
14
Добавлен:
13.11.2024
Размер:
853.21 Кб
Скачать

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Лабораторная работа №3. Исследование элементарных звеньев и построение их

характеристик.

Москва 2024

Цель работы.

1.Ознакомиться с временными и частотными характеристиками типовых

звеньев.

2.Получить практические навыки построения характеристик в среде

MatLab.

Теоретическая часть

Звено – математическая модель элемента, соединения элементов или любой части системы. Звенья, как и системы, могут описываться дифференциальными уравнениями довольно высокого порядка, и в общем случае их передаточные функции могут быть записаны в виде:

 

b

 

s

m

b

 

s

m 1

... b

 

W (s)

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

1

 

 

 

m

a

 

s

n

a

 

s

n 1

... a

 

 

 

 

 

 

0

 

1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1 )

Их всегда можно представить как соединение типовых или элементарных звеньев, порядок дифференциальных уравнений которых не выше второго.

Из курса алгебры известно, что полином произвольного порядка можно разложить на простые множители – множители вида:

k

s; d

s d

 

; d

s

2

d

 

s d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

2

1

 

 

 

2

 

3

 

Следовательно, передаточную функцию (1) можно представить произведение простых множителей вида (2) и простых дробей вида:

k

;

 

k

 

;

 

 

 

k

 

 

 

s

 

s d

 

 

s

2

d

 

s d

 

d

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

1

 

 

 

2

 

3

( 2 )

как

( 3)

Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей, называют типовыми или элементарными звеньями.

В дальнейшем будем рассматривать звенья соответственно обозначениям, указанным на рисунке:

Рисунок – Принятые обозначения

2

Пропорциональное звено

вида

Пропорциональным называют звено, которое описывается уравнением x t k u t или передаточной функцией W s k .

Частотные характеристики этого типового звена имеют вид:

W jw k; U k; V 0; A k;0; L 20 lg k;

Временные характеристики этого типового звена имеют вид:

h t k 1 t ; w t t ;

Рисунок 1 – Характеристики пропорционального звена, при к=2 На рисунке 1 представлены логарифмические частотные и переходная

характеристики пропорционального звена при k=2.

Интегрирующее звено

 

 

 

 

Интегрирующим называют звено, которое

описывается уравнением

s x k u или передаточной функцией W s

k

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

Частотная передаточная функция W jw

k

 

jk

.

j

 

 

 

 

 

 

Остальные характеристики имеют вид:

3

U 0;

 

V

 

k

;

 

 

 

 

A

k

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

2

 

 

 

 

L 20 lg k 20 lg ;

Временные характеристики имею вид: h t k t; w t k;

Амплитудно-фазовая частотная характеристика интегрирующего звена совпадает с отрицательной мнимой полуосью. ЛФЧХ (рисунок 2а) параллельна

оси частот

и проходит на

уровне

 

2

;

т.е. сдвиг фазы

не

зависит от

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

частоты и равен –

 

. ЛАЧХ (рисунок 2а) – наклонная прямая, проходящая через

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точку с

координатами

1; L 20 lg k .

Как видно

из

уравнения

L 20 lg k 20 lg ,

при увеличении частоты

на одну декаду ордината L

уменьшается на 20 дБ. Поэтому наклон ЛАЧХ равен –20 дБ/дек. Переходная характеристика представляет собой прямую, проходящую через начало координат с угловым коэффициентом наклона, равным k (рисунок 2б).

Рисунок 2 – Характеристики интегрирующего звена при k=2

Дифференцирующее звено

Дифференцирующим называют звено, которое описывается уравнением x k s u или передаточной функцией W s k s .

Частотные характеристики имеют вид:

4

W j jk ;

U ω 0;

V k ;

A ω k ;

ω

π

;

2

 

 

L ω 20lg k 20lg ;

Временные характеристики имеют вид:

h t δ t ;

ω t δ t ;

Амплитудно-фазовая частотная характеристика совпадает с положительной

мнимой полуосью. ЛФЧХ параллельна оси частот и проходит на уровне

 

2

;

 

 

 

 

 

 

 

т.е. сдвиг фазы не зависит от частоты и равен

 

2

. ЛАЧХ есть прямая,

 

 

 

 

 

 

 

проходящая через точку с координатами 1 и L 20 lg k и имеющая наклон

20 дБ/дек; L увеличивается на 20 дБ/дек при увеличении частоты на одну декаду.

Апериодическое звено

Апериодическим звеном первого порядка называют звено, которое описывается уравнением T s 1 y k u (4) или передаточной функцией

W s

k

 

.

Ts 1

 

 

 

Это

звено также называют инерционным звеном

Апериодическое звено в отличие от рассмотренных

характеризуется двумя параметрами: постоянной времени

T

коэффициентом k .

 

Частотная передаточная функция:

 

первого порядка. выше звеньев и передаточным

W j

k

;

Tj 1

 

 

Умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателю число, получим частотные характеристики:

U ω k ;

2 1

V ω kTω ;

2 1

5

Амплитудную и фазовую частотные функции можно определить,

воспользовавшись правилом модулей и аргументов.

 

Так как модуль числителя частотной передаточной функции равен

k , а

модуль знаменателя

T 2

1 , то

 

 

 

A

 

k

 

2

 

 

 

1

 

 

T

( 5 )

Аргумент числителя W j равен нулю, а аргумент знаменателя поэтому ω arg W jω arctg ωT .

arctg T

,

С учетом уравнения (5) получим:

 

 

 

L ω 20 lg A ω 20 lg k 20 lg

 

 

 

 

 

2 1

( 6 )

При

1

в сумме

2

 

 

 

T

1 первым слагаемым можем пренебречь и

 

 

 

 

 

 

 

выражение (6) примет вид:

L 20 lg k , т.е. это прямая линия, параллельная

 

оси абсцисс.

При

 

1

T

 

в сумме

1

2

 

можем пренебречь 1, тогда выражение (6)

примет вид:

2

20 lg k 20 lg T , как видно

L ω 20 lg A ω 20 lg k 20 lg

из этого уравнения, при увеличении частоты на

одну декаду ордината

L

уменьшается на 20 дБ. Поэтому наклон ЛАЧХ равен –20 дБ/дек.

 

Таким

образом, асимптотическую ЛАЧХ

можем представить в

виде

соединяющихся в точке

 

1

T

 

двух линий: слева – параллельной оси абсцисс, а

справа – идущей с наклоном –20 дБ/дек.

 

 

 

 

 

 

 

 

Частоту, на которой ЛАЧХ меняет наклон, будем называть сопрягающей.

 

Вычислим истинное

 

значение ЛАЧХ

на сопрягающей

частоте:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

L c

|k 1 20 lg 1 20 lg T

 

 

 

1 20 lg 2 3 дБ ,

т.е.

истинное

 

значение

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

характеристики меньше асимптотического на 3 дБ.

 

 

 

 

 

 

 

 

Решив дифференциальное уравнение (4) при

u 1 t

и нулевом начальном

 

 

 

 

 

t T

 

k

t T

 

 

условии, получим h t k 1

e

 

. Весовая функция

t h t

 

e

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

6

Рисунок 3 – АФЧХ апериодического звена, при Т=1, к=1 АФЧХ апериодического звена (рисунок 3) есть окружность, в чем нетрудно

убедиться, исключив из параметрических уравнений АФЧХ частоту.

Рисунок – 4 Логарифмические характеристики апериодического звена при Т=1, к=1 Логарифмические частотные характеристики представлены на рис. 4. Логарифмическая фазовая частотная характеристика асимптотически

стремится к нулю при

0

и к 2

при

. При 1T фазовая частотная

функция принимает значение

 

 

 

4

. ЛФЧХ всех апериодических звеньев имеют

одинаковую форму и могут быть получены по какой-либо одной характеристики параллельным сдвигом вдоль оси частот влево или вправо в зависимости от постоянной времени T .

Переходная характеристика апериодического звена (рисунок 5а) представляет собой экспоненциальную кривую. По ней можно определить

7

следующие параметры: передаточный коэффициент, равный установившемуся значению h ; постоянную времени Т и другие характеристики.

Импульсная переходная характеристика представлена на рисунке 5б.

Рисунок 5 – Временные характеристики апериодического звена

Форсирующее звено.

Форсирующим звеном, или форсирующим звеном первого порядка

называют звено, которое описывается уравнением

x k T s 1 u

или

передаточной функцией W s k T s 1 .

Это звено, как и апериодическое, характеризуется двумя параметрами: постоянной времени T и передаточным коэффициентом k .

Частотная передаточная функция:

W j

k Tj

1

;

Остальные частотные характеристики имеют вид:

U ω k, V ω kTω;

 

 

2

 

 

A ω k Tω 1;

 

 

ω arctg T ω ;

 

 

L ω 20 lg k 20 lg

2

1;

Временные характеристики имеют вид:

h t k Tδ t 1 t ; w t k Tδ t 1 t ;

АФЧХ есть прямая, параллельная мнимой оси и пересекающая действительную ось в точке U k . Как и в случае апериодического звена, на практике ограничиваются построением асимптотической ЛАЧХ.

Уравнение асимптотической ЛАЧХ форсирующего звена:

8

20 lg k

при ω 1

 

,

 

 

 

 

 

 

L ω

T

 

 

 

 

 

20 lg k 20 lg T

при ω

1

 

 

 

 

T

 

 

 

 

ЛФЧХ форсирующего звена

 

можно

получить зеркальным отражением

относительно оси частот ЛФЧХ апериодического звена.

Колебательное, консервативное и апериодическое второго порядка звенья.

Звено, которое можно описать уравнением

T

2

s T s 1 x

 

 

0

1

ku

, или в другой

форме

T

2

s

2

 

 

2 Ts 1 x

ku

, где

T T

,

0

 

 

T

 

1

2T

 

 

 

, или передаточной функцией

W s

T

 

 

 

k

, называют колебательным при

2

s

2

2 Ts 1

 

 

 

 

 

 

 

0 T1 0 , и апериодическим второго порядка

называют коэффициентом демпфирования.

0 1, консервативным при при 1. Коэффициент

Колебательное звено (

0

1

).

Частотная передаточная функция

W j

 

 

 

k

T

 

 

j2 T

1

2

 

2

 

 

Умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателю выражение, получим вещественную и мнимую частотные функции:

U

 

k 1 T

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 T

2

 

2

2

 

 

 

 

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 T

 

V

1 T

 

2k T

 

;

2

 

2

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 T

 

Фазовая частотная функция,

монотонно от 0 до

 

и выражается

как это видно из АФЧХ (рис. 6), изменяется формулой

 

arctg

 

2T

 

 

, при

1

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

1

T

 

 

 

 

T ,

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

2T

 

 

 

 

arctg

 

, при

1

 

1 T

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

T.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Логарифмическая фазовая частотная характеристика (рис. 6) при асимптотически стремится к оси частот, а при - к прямой .

Амплитудная частотная функция

0

A

 

k

 

,

 

 

 

 

 

 

1 T 2 2 2 2 T 2

9

ЛАЧХ имеет вид:

 

 

2

 

2

2

 

2

L 20 lg k 20 lg

1 T

 

 

2 T

 

 

 

Рисунок 6 – Частотные характеристики колебательного звена при Т=1; 2*ksi*T=0.3 Переходная функция:

Весовая функция:

 

k α

2

β

2

 

 

w t h t

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

αt

 

 

 

β

 

 

 

sin βt

Рисунок 7 – Временные характеристики колебательного звена при Т=1; 2*ksi*T=0.3 По переходной характеристике (рисунок 7) можно определить параметры

колебательного звена следующим образом:

Консервативное звено ( 0 ).

Передаточная функция

10

Соседние файлы в папке лаб 3