
лаб 3 / Laboratornaya_rabota_3
.pdfНациональный исследовательский университет «МИЭТ»
Лабораторная работа №3. Исследование элементарных звеньев и построение их
характеристик.
Москва 2024

Цель работы.
1.Ознакомиться с временными и частотными характеристиками типовых
звеньев.
2.Получить практические навыки построения характеристик в среде
MatLab.
Теоретическая часть
Звено – математическая модель элемента, соединения элементов или любой части системы. Звенья, как и системы, могут описываться дифференциальными уравнениями довольно высокого порядка, и в общем случае их передаточные функции могут быть записаны в виде:
|
b |
|
s |
m |
b |
|
s |
m 1 |
... b |
|
||
W (s) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
m |
||||
a |
|
s |
n |
a |
|
s |
n 1 |
... a |
|
|||
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
1 |
|
n |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 )
Их всегда можно представить как соединение типовых или элементарных звеньев, порядок дифференциальных уравнений которых не выше второго.
Из курса алгебры известно, что полином произвольного порядка можно разложить на простые множители – множители вида:
k |
s; d |
s d |
|
; d |
s |
2 |
d |
|
s d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
Следовательно, передаточную функцию (1) можно представить произведение простых множителей вида (2) и простых дробей вида:
k |
; |
|
k |
|
; |
|
|
|
k |
|
|
|
s |
|
s d |
|
|
s |
2 |
d |
|
s d |
|
||
d |
|
|
d |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
( 2 )
как
( 3)
Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей, называют типовыми или элементарными звеньями.
В дальнейшем будем рассматривать звенья соответственно обозначениям, указанным на рисунке:
Рисунок – Принятые обозначения
2

Пропорциональное звено
вида
Пропорциональным называют звено, которое описывается уравнением x t k u t или передаточной функцией W s k .
Частотные характеристики этого типового звена имеют вид:
W jw k; U k; V 0; A k;0; L 20 lg k;
Временные характеристики этого типового звена имеют вид:
h t k 1 t ; w t t ;
Рисунок 1 – Характеристики пропорционального звена, при к=2 На рисунке 1 представлены логарифмические частотные и переходная
характеристики пропорционального звена при k=2.
Интегрирующее звено |
|
|
|
|
||
Интегрирующим называют звено, которое |
описывается уравнением |
|||||
s x k u или передаточной функцией W s |
k |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
s |
|
|
|
|
|
Частотная передаточная функция W jw |
k |
|
jk |
. |
||
j |
|
|||||
|
|
|
|
|
Остальные характеристики имеют вид:
3

U 0; |
|
||||
V |
|
k |
; |
||
|
|||||
|
|
|
|||
A |
k |
|
; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||
|
|
; |
|||
|
2 |
||||
|
|
|
|
||
L 20 lg k 20 lg ; |
Временные характеристики имею вид: h t k t; w t k;
Амплитудно-фазовая частотная характеристика интегрирующего звена совпадает с отрицательной мнимой полуосью. ЛФЧХ (рисунок 2а) параллельна
оси частот |
и проходит на |
уровне |
|
2 |
; |
т.е. сдвиг фазы |
не |
зависит от |
|||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
частоты и равен – |
|
. ЛАЧХ (рисунок 2а) – наклонная прямая, проходящая через |
|||||||||
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
точку с |
координатами |
1; L 20 lg k . |
Как видно |
из |
уравнения |
||||||
L 20 lg k 20 lg , |
при увеличении частоты |
на одну декаду ордината L |
уменьшается на 20 дБ. Поэтому наклон ЛАЧХ равен –20 дБ/дек. Переходная характеристика представляет собой прямую, проходящую через начало координат с угловым коэффициентом наклона, равным k (рисунок 2б).
Рисунок 2 – Характеристики интегрирующего звена при k=2
Дифференцирующее звено
Дифференцирующим называют звено, которое описывается уравнением x k s u или передаточной функцией W s k s .
Частотные характеристики имеют вид:
4

W j jk ; |
|||
U ω 0; |
|||
V k ; |
|||
A ω k ; |
|||
ω |
π |
; |
|
2 |
|||
|
|
||
L ω 20lg k 20lg ; |
Временные характеристики имеют вид:
h t δ t ;
ω t δ t ;
Амплитудно-фазовая частотная характеристика совпадает с положительной
мнимой полуосью. ЛФЧХ параллельна оси частот и проходит на уровне |
|
2 |
; |
|||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
т.е. сдвиг фазы не зависит от частоты и равен |
|
2 |
. ЛАЧХ есть прямая, |
|||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
проходящая через точку с координатами 1 и L 20 lg k и имеющая наклон
20 дБ/дек; L увеличивается на 20 дБ/дек при увеличении частоты на одну декаду.
Апериодическое звено
Апериодическим звеном первого порядка называют звено, которое описывается уравнением T s 1 y k u (4) или передаточной функцией
W s |
k |
|
. |
|
Ts 1 |
||||
|
|
|||
|
Это |
звено также называют инерционным звеном |
Апериодическое звено в отличие от рассмотренных
характеризуется двумя параметрами: постоянной времени |
T |
коэффициентом k . |
|
Частотная передаточная функция: |
|
первого порядка. выше звеньев и передаточным
W j |
k |
; |
|
Tj 1 |
|||
|
|
Умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателю число, получим частотные характеристики:
U ω k ;
Tω 2 1
V ω kTω ;
Tω 2 1
5

Амплитудную и фазовую частотные функции можно определить,
воспользовавшись правилом модулей и аргументов. |
|
Так как модуль числителя частотной передаточной функции равен |
k , а |
модуль знаменателя
T 2
1 , то |
|
|
|
A |
|
k |
|
2 |
|
||
|
|
1 |
|
|
|
T |
( 5 )
Аргумент числителя W j равен нулю, а аргумент знаменателя поэтому ω arg W jω arctg ωT .
arctg T
,
С учетом уравнения (5) получим: |
|
|||||
|
|
L ω 20 lg A ω 20 lg k 20 lg |
|
|
|
|
|
|
Tω 2 1 |
( 6 ) |
|||
При |
1 |
в сумме |
2 |
|
|
|
T |
Tω 1 первым слагаемым можем пренебречь и |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
выражение (6) примет вид: |
L 20 lg k , т.е. это прямая линия, параллельная |
|
оси абсцисс.
При
|
1 |
|
T |
||
|
в сумме
Tω |
1 |
2 |
|
можем пренебречь 1, тогда выражение (6)
примет вид: |
2 |
20 lg k 20 lg T , как видно |
|
L ω 20 lg A ω 20 lg k 20 lg Tω |
|||
из этого уравнения, при увеличении частоты на |
одну декаду ордината |
L |
|
уменьшается на 20 дБ. Поэтому наклон ЛАЧХ равен –20 дБ/дек. |
|
||
Таким |
образом, асимптотическую ЛАЧХ |
можем представить в |
виде |
соединяющихся в точке
|
1 |
|
T |
||
|
двух линий: слева – параллельной оси абсцисс, а
справа – идущей с наклоном –20 дБ/дек. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Частоту, на которой ЛАЧХ меняет наклон, будем называть сопрягающей. |
|||||||||||||
|
Вычислим истинное |
|
значение ЛАЧХ |
на сопрягающей |
частоте: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
L c |
|k 1 20 lg 1 20 lg T |
|
|
|
1 20 lg 2 3 дБ , |
т.е. |
истинное |
|
значение |
|||||
T |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
характеристики меньше асимптотического на 3 дБ. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Решив дифференциальное уравнение (4) при |
u 1 t |
и нулевом начальном |
|||||||||||
|
|
|
|
|
t T |
|
k |
t T |
|
|
||||
условии, получим h t k 1 |
e |
|
. Весовая функция |
t h t |
|
e |
|
. |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
6

Рисунок 3 – АФЧХ апериодического звена, при Т=1, к=1 АФЧХ апериодического звена (рисунок 3) есть окружность, в чем нетрудно
убедиться, исключив из параметрических уравнений АФЧХ частоту.
Рисунок – 4 Логарифмические характеристики апериодического звена при Т=1, к=1 Логарифмические частотные характеристики представлены на рис. 4. Логарифмическая фазовая частотная характеристика асимптотически
стремится к нулю при
0
и к 2
при
. При 1T фазовая частотная
функция принимает значение
|
|
|
4
. ЛФЧХ всех апериодических звеньев имеют
одинаковую форму и могут быть получены по какой-либо одной характеристики параллельным сдвигом вдоль оси частот влево или вправо в зависимости от постоянной времени T .
Переходная характеристика апериодического звена (рисунок 5а) представляет собой экспоненциальную кривую. По ней можно определить
7

следующие параметры: передаточный коэффициент, равный установившемуся значению h ; постоянную времени Т и другие характеристики.
Импульсная переходная характеристика представлена на рисунке 5б.
Рисунок 5 – Временные характеристики апериодического звена
Форсирующее звено.
Форсирующим звеном, или форсирующим звеном первого порядка
называют звено, которое описывается уравнением |
x k T s 1 u |
или |
передаточной функцией W s k T s 1 .
Это звено, как и апериодическое, характеризуется двумя параметрами: постоянной времени T и передаточным коэффициентом k .
Частотная передаточная функция:
W j
k Tj
1
;
Остальные частотные характеристики имеют вид:
U ω k, V ω kTω; |
|
|
2 |
|
|
A ω k Tω 1; |
|
|
ω arctg T ω ; |
|
|
L ω 20 lg k 20 lg |
2 |
1; |
Tω |
Временные характеристики имеют вид:
h t k Tδ t 1 t ; w t k Tδ t 1 t ;
АФЧХ есть прямая, параллельная мнимой оси и пересекающая действительную ось в точке U k . Как и в случае апериодического звена, на практике ограничиваются построением асимптотической ЛАЧХ.
Уравнение асимптотической ЛАЧХ форсирующего звена:
8

20 lg k |
при ω 1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
L ω |
T |
|
|
|
|
|
|
||
20 lg k 20 lg T |
при ω |
1 |
||
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
ЛФЧХ форсирующего звена |
|
можно |
получить зеркальным отражением |
относительно оси частот ЛФЧХ апериодического звена.
Колебательное, консервативное и апериодическое второго порядка звенья.
Звено, которое можно описать уравнением
T |
2 |
s T s 1 x |
|
|
|
0 |
1 |
ku
, или в другой
форме
T |
2 |
s |
2 |
|
|
2 Ts 1 x
ku
, где
T T |
, |
0 |
|
|
T |
|
|
1 |
2T |
||
|
|||
|
|
, или передаточной функцией
W s |
T |
|
|
|
k |
, называют колебательным при |
|
2 |
s |
2 |
2 Ts 1 |
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
0 T1 0 , и апериодическим второго порядка |
называют коэффициентом демпфирования.
0 1, консервативным при при 1. Коэффициент
Колебательное звено (
0
1
).
Частотная передаточная функция
W j |
|
|
|
k |
T |
|
|
j2 T |
|
1 |
2 |
|||
|
2 |
|
|
Умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателю выражение, получим вещественную и мнимую частотные функции:
U |
|
k 1 T |
2 |
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 T |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 T |
|
||||||
V |
1 T |
|
2k T |
|
; |
||||||
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 T |
|
||||||
Фазовая частотная функция, |
|||||||||||
монотонно от 0 до |
|
и выражается |
как это видно из АФЧХ (рис. 6), изменяется формулой
|
arctg |
|
2T |
|
|
, при |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||
1 |
T |
|
|
|
|
T , |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
2T |
|
|
|
|
||||||||
arctg |
|
, при |
1 |
|
||||||||||
1 T |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
T. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Логарифмическая фазовая частотная характеристика (рис. 6) при асимптотически стремится к оси частот, а при - к прямой .
Амплитудная частотная функция
0
A |
|
k |
|
, |
|
|
|
||
|
|
|
||
1 T 2 2 2 2 T 2 |
9

ЛАЧХ имеет вид:
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
2 |
|
L 20 lg k 20 lg |
1 T |
|
|
2 T |
||||
|
|
|
Рисунок 6 – Частотные характеристики колебательного звена при Т=1; 2*ksi*T=0.3 Переходная функция:
Весовая функция:
|
k α |
2 |
β |
2 |
|
|
w t h t |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
αt |
|
|
|
β |
|
|
|
sin βt
Рисунок 7 – Временные характеристики колебательного звена при Т=1; 2*ksi*T=0.3 По переходной характеристике (рисунок 7) можно определить параметры
колебательного звена следующим образом:
Консервативное звено ( 0 ).
Передаточная функция
10