экз

1. Имитационное моделирование. Области применения.

Имитационное моделирование (ситуационное моделирование) — метод, позволяющий строить модели, описывающие процессы так, как они проходили бы в действительности. Такую модель можно «проиграть» во времени как для одного испытания, так и заданного их множества. При этом результаты будут определяться случайным характером процессов. По этим данным можно получить достаточно устойчивую статистику.

Имитационное моделирование — это метод исследования, при котором изучаемая система заменяется моделью, с достаточной точностью описывающей реальную систему, с которой проводятся эксперименты с целью получения информации об этой системе. Экспериментирование с моделью называют имитацией (имитация — это постижение сути явления, не прибегая к экспериментам на реальном объекте).

Имитационное моделирование — это частный случай математического моделирования. Существует класс объектов, для которых по различным причинам не разработаны аналитические модели, либо не разработаны методы решения полученной модели. В этом случае аналитическая модель заменяется имитатором или имитационной моделью.

Имитационным моделированием иногда называют получение частных численных решений сформулированной задачи на основе аналитических решений или с помощью численных методов.

К имитационному моделированию прибегают, когда:

- дорого или невозможно экспериментировать на реальном объекте;

- невозможно построить аналитическую модель: в системе есть время, причинные связи, последствие, нелинейности, стохастические (случайные) переменные;

- необходимо сымитировать поведение системы во времени.

2. Создание имитационной модели. Пример.

3. Задачи и методы имитационного моделирования.

Цель имитационного моделирования состоит в воспроизведении поведения исследуемой системы на основе результатов анализа наиболее существенных взаимосвязей между её элементами или разработке симулятора (англ. simulation modeling) исследуемой предметной области для проведения различных экспериментов.

https://focus-group.spb.ru/simulation-techniques/ - методы

4. Моделирование по событиям. Пример.

В настоящее время при имитационном моделировании СМО, как правило, применяется подход, называемый «моделирование по событиям». Кратко опишем ключевые особенности такого подхода. Состояние системы описывается набором из нескольких переменных (например, количество заявок в очереди, занятость ОУ и т. д.). Также вводится переменная, хранящая системное время. Характерной чертой СМО является то, что состояние системы остается постоянным в интервале между двумя соседними произошедшими событиями. Моменты времени, в которые происходит смена состояния системы, называются особыми. Таким образом, можно имитировать систему только в особые моменты времени. При этом, системное время будет изменяться скачкообразно – от момента к моменту.

5. Модель СМО и ее основные характеристики.

В данном пособии рассматривается один класс имитационных моделей – модели систем массового обслуживания. Данные модели описывают большое количество социальных, экономических и технических систем. Система массового обслуживания (СМО) производит обработку поступающих в неё заявок. Обработка заявок осуществляется обслуживающими устройствами, количество которых в общем случае не ограничено. Если на момент поступления заявки все обслуживающие устройства заняты, то заявка временно помещается в буфер. Как правило, буфер может хранить ограниченное число заявок

6. Методы определения необходимого объема моделирования.

При построении гистограммы важным является правильный выбор объема выборки N, граничных значений xmin и xmax, а также конфигурации подинтервалов. Например, с увеличением N точность результатов моделирования возрастает, но возрастают и затраты на проведение моделирования. Для правильного выбора этих параметров гистограммы разработчику придется решать непростые задачи из области 19 математической статистики, поэтому на практике, как правило, пользуются эмпирическими, инженерными правилами. Одно из них гласит о том, что если данное событие происходит в процессе моделирования не менее 100 раз, то с вероятностью, близкой к единице, экспериментальная оценка вероятности этого события будет иметь относительную погрешность, меньшую 10%. Это утверждение может быть строго обосновано только для некоторых частных случаев. В то же время, не известны примеры из практики, опровергающие его. Таким образом, для обеспечения приемлемой точности оценивания необходимо увеличивать объем выборки до тех пор, пока не выполнится следующее условие: min , , , 100. N N N 0 1 n  Граничные значения анализируемого интервала xmin и xmax должны выбираться так, чтобы вероятность попадания случайной величины за границы данного интервала Pвне интервала была меньше некой заранее заданной величины. На практике, xmin и xmax, как правило, выбираются таким образом, чтобы Pвне интервала < 0.01. В задачах, не требующих высокой точности, длительности интервалов 1,2,…, n выбираются равными (         1 2 n ), а n = 10.

7. Генерация случайных величин: метод обратного преобразования. Примеры.

8. Генерация случайных величин: метод суперпозиции. Примеры.

9. Формирование чисел с нормальным законом распределения: преобразование Бокса-Мюллера.

10. Классификация входных потоков заявок. Примеры.

11. Характеристики входных потоков заявок.

Для описания входного потока запросов часто бывает достаточно задать последовательность моментов поступления запросов на вход СМО. В зависимости от классификации этой последовательности потоки делятся на стохастические и детерминированные, на однородные и неоднородные. Стохастические потоки делятся в свою очередь на стационарные и нестационарные. Остановимся подробней на каждом из этих видов. Детерминированные потоки заявок. Такие потоки могут задаваться либо в виде расписания (таблицы моментов поступления заявок), либо указанием алгоритма, позволяющего вычислить моменты поступления заявок без использования случайных чисел и случайного выбора. Примером СМО с детерминированным потоком заявок является аэропорт. Обслуживающим устройством является взлётно-посадочная полоса, а входной поток запросов задается расписанием отправления самолетов, использующих эту полосу. 25 Стохастические стационарные потоки заявок. В стохастическом (случайном) потоке моменты поступления запросов случайны, и в общем случае их описание требует большого количества информации. Поэтому здесь рассматриваются лишь наиболее простые модели потоков. Будем полагать, что длительности временных интервалов между моментами поступления соседних запросов являются случайными величинами u1,u2,…, которые попарно статистически независимы и все имеют одну и ту же плотность распределения вероятностей fu(x) (такой поток называется рекуррентным потоком или потоком Пальма). Интенсивностью потока называется величина 1 mu   , где mu – математическое ожидание случайной величины u. Интенсивность потока  равна среднему числу запросов на промежутке времени, выбранном за единицу (1сек., 1мин., 1час и т.д.). Важной характеристикой рекуррентного потока, характеризующей уровень его случайности, является коэффициент вариации, равный отношению среднеквадратического значения к среднему значению случайной величины u, то есть u u u v m   . Для большинства реальных потоков значение vu лежит в пределах от 0 до 1, причем, vu = 0 для детерминированных потоков. Важнейшим частным случаем рекуррентного потока является так называемый пуассоновский поток, для которого плотность распределения вероятностей fu(x) задается формулой экспоненциального распределения:   1 , x u f x e     где  – интенсивность пуассоновского потока. Для пуассоновского потока u = mu, и, следовательно, vu = 1, т.е. по уровню случайности пуассоновский поток можно считать антиподом к детерминированному потоку. Пуассоновский поток достаточно хорошо аппроксимирует большинство потоков, встречающихся в социальных и технических систем (например, интервалы времени между приходящими к врачу пациентами или встающими в очередь покупателями в магазине) В ряде практических приложений входной поток заявок является эрланговским. Эрланговские потоки по уровню случайности являются промежуточными между 26 детерминированными и пуассоновскими. Эрланговский поток порядка k получается из пуассоновского потока, в котором оставляется лишь каждый k-ая заявка, а остальные выбрасываются. Такая операция называется прореживанием потока. Примером подобного потока является поток проходящих через турникет метрополитена людей. Исходный поток людей, входящих в вестибюль метро, является пуассоновским и делится примерно поровну между всеми N турникетами. Функция fu(x) для эрланговского потока порядка k > 1 в общем виде вычисляется довольно сложно, но коэффициент вариации найти несложно. Можно показать, что для эрланговского потока 1 u v k  , т.е. с увеличением k vu убывает к нулю. Стохастические нестационарные потоки заявок. В реальных системах интенсивность потока запросов редко бывает строго постоянной. Например, интенсивность потока покупателей в течение суток может изменяться в несколько раз. Это явление отражено в понятиях «часы максимальной нагрузки» и «часы минимальной нагрузки». В большинстве случаев можно считать, что нестационарность потока обусловлена только тем, что его интенсивность изменяется во времени. Однородные и неоднородные потоки заявок. Различие между однородными и неоднородными потоками заключается в том, что в однородных потоках все заявки имеют равный приоритет на обслуживание в ОУ, в то время как в неоднородном потоке приоритеты могут различаться. Например, во многих социальных организациях висят объявления о том, что граждане, принадлежащие к льготным категориям, обслуживаются вне очереди. Распространенной причиной неоднородности потока заявок является то, что в заявках содержится информация, которая учитывается при обслуживании запроса в буфере и в ОУ, и от которой, следовательно, зависят характеристики этого обслуживания. Так, например, в системах сбора данных, где заявками являются приходящие сообщения, такой информацией является время создания сообщения, и чем более актуально сообщение, тем скорее оно должно быть обработано.

12. Теорема Литтла. Формула Поллачека-Хинчина.

В теории массового обслуживания, разделе теории вероятностей, законом Литтла (англ. Little's law, также результатом, леммой, формулой Литтла^[1][2]) называют сформулированную американским учёным Джоном Литтлом теорему:

Долгосрочное среднее количество L требований в стационарной системе равно долгосрочной средней интенсивности λ входного потока, умноженной на среднее время W пребывания заявки в системе. Алгебраически,  L = λW.

Иными словами, при заданной интенсивности входного потока время в системе пропорционально количеству заявок в системе. Хотя результат и выглядит интуитивно понятным, он замечателен, так как выраженная связь не опосредована распределением поступления, распределением обслуживания, порядком обслуживания или другими посторонними характеристиками^[3].

Закон применим к любым системам, в частности, к подсистемам^[4]. Например, очередь клиентов в банке может быть одной подсистемой, а каждый из кассиров — другой. Закон Литтла применим как к каждой из подсистем, так и ко всей системе в целом. От системы требуется лишь стационарность и отсутствие вытесняющей многозадачности. Наличие этих свойств исключает переходные состояния, в том числе запуск и остановку.

Формула Поллачека-Хинчина - математический инструмент, используемый в теории очередей . Эта формула показывает, что существует взаимосвязь между длиной очереди и распределением времени обслуживания в соответствии с преобразованием Лапласа для очереди M / G / 1 (в которую задачи поступают в соответствии с процессом Пуассона ). Этот термин также используется для обозначения отношений между средней длиной очереди и средним временем ожидания / обслуживания в такой модели.

13. СМО типа М/М/1 с бесконечным буфером. Упрощенная формула Поллачека-Хинчина.

14. СМО типа М/М/1/m (с конечным буфером) и ее характеристики.

Для описания СМО как правило используется система обозначений Кендалла, согласно которой простейшая СМО описывается четырехразрядным кодом. Первый разряд обозначает вид закон распределения интервалов между поступлением заявок, второй – закон распределения времени, необходимого для обслуживания заявки. Причем, экспоненциальный закон распределения обозначается буквой M, эрланговское распределение k-го порядка - символом Ek, постоянная величина – буквой D и произвольное распределение буквой - G. Третий разряд обозначает число обслуживающих устройств, а четвертый – объем буфера (если объем буфера считается бесконечным, то четвертый разряд не указывается). Например, система с экспоненциальным законом распределения интервалов между заявками и детерминированным временем обслуживания заявки с одним обслуживающим устройством и буфером, способным хранить 100 заявок, обозначается как M/D/1/100.