0677

1. Введение

Исследования и разработки волоконных высокочастотных (ВЧ) лазерных систем, позволяющих получать последовательности ультракоротких импульсов (УКИ) с частотой следования несколько гигагерц представляют большой интерес для многих технических приложений в качестве широкополосных гребенчатых генераторов оптических частот. Стандартная гребенка частот представляет собой композицию когерентных узких лазерных линий, расположенных на равном расстоянии друг от друга, причем центральная линия имеет максимальную яркость. Сфера приложений генераторов лазерного излучения с гребенчатым спектром крайне широка. В нее входят применения в задачах оптической связи, спектроскопии, метрологии, микроволновой фотоники и т. д. [1 –5]. С практической точки зрения наиболее привлекательными источниками для генерации гребенки частот являются волоконные солитонные лазеры с гармонической синхронизацией мод. Подобные лазерные комплексы сочетают в себе ряд таких важных свойств, как компактность, надежность, низкая стоимость и удобство вывода излучения из системы [6, 7].

Гармоническая синхронизация мод, или периодическое распределение импульсов внутри резонатора волоконного лазера, может быть достигнута при взаимном отталкивании импульсов [8]. Однако этот режим достаточно нестабилен и часто требует дополнительных мер, связанных с уменьшением временного и амплитудного джиттера импульсов [9 – 11]. Другим подходом является использование диссипативного четырехволнового сме-

А.С.Абрамов,Д.А.Коробко,В.А.Лапин,П.П.Миронов.Ульяновский государственный университет, Россия, 432970 Ульяновск, ул.

Л. Толстого 42; e-mail: aleksei__abramov@mail.ru

Поступила в редакцию 6 сентября 2023 г., после доработки – 21 ноября 2023 г.

шения (ДЧВС) [12, 13]. В этом случае гармоническая синхронизация мод в резонаторе волокна реализуется за счет добавления внутрирезонаторного фильтра со свободным спектральным диапазоном, равным частоте следования выходных импульсов. Суть механизма ДЧВС заключается в том, что общее усиление в резонаторе будет преобладать над потерями только для двух продольных мод. Остальные моды резонатора могут приобретать энергию только за счет эффективного параметрического взаимодействия, т. к. они находятся в диапазоне, где потери выше усиления. В результате все взаимодействующие моды получают фазовую синхронизацию, приводящую к генерации импульсов с частотой повторения, равной разности частот между двумя исходными продольными мо-

дами [12, 14].

В настоящей работе для реализации режима гармонической синхронизации мод в качестве высокодобротного эталона, встроенного в кольцевой резонатор, предлагается использовать усиливающую структуру с периодически модулированным показателем преломления – одномерный фотонный кристалл (ФК). Активный ФК обеспечивает распределенную обратную связь (РОС) между усиливаемыми модами лазера и позволяет сконцентрировать усиление на двух продольных модах резонатора, возникающих на краях фотонной запрещенной зоны (ФЗЗ). Замечательным свойством предлагаемой конфигурации является возможность перестройки гребенки частот за счет управления параметрами ФК. Полученный широкий спектр гребенки соответствует серии импульсов с частотой повторения от единиц до десятков гигагерц. При­ мерами таких усилителей являются полупроводниковые структуры с квантовыми точками или брэгговские решетки, записанные в легированном ионами редкоземельных металлов волокне. Лазерные системы, позволяющие получать многочастотные гребенки с преобладанием нескольких линий на вершине спектра, представляют особый интерес для конкретных приложений в информационной оптике и динамической спектроскопии [15 – 17].

Также рассмотрена эволюция полученной последовательности импульсов в выходном каскаде, состоящем из волоконного усилителя и отрезка одномодового волокна (ОВ). Предлагаемая схема, состоящая из кольцевого резонатора и последовательно соединенного с ним волоконного каскада видится перспективной с точки зрения формирования качественных гребенчатых спектров. Генерируемые широкополосные гребни образованы двумя малыми гребенками, разделенными спектральным интервалом. Его длина определяется шириной запрещенной зоны ФК-структуры. Линии малых гребенок эквидистантны. Оценки показывают, что ширина одиночной линии не превышает единиц мегагерц. Трансформация последовательности импульсов в выходном волоконном каскаде приводит к увеличению пиковой мощности импульса на несколько порядков с одновременным уширением гребня частот. Данное обстоятельство демонстрирует значительный потенциал предложенной конфигурации в приложениях.

2. Кольцевой резонатор на основе активной ФК-структуры

Основной частью рассматриваемой в работе модели является кольцевой резонатор, состоящий из активной ФК-структуры [18, 19], сегмента стандартного одномодового волокна, изолятора, обеспечивающего однонаправленное распространение сигнала в резонаторе, и выходного ответвителя (рис.1).

Ключевым элементом кольцевой лазерной схемы является периодическая активная структура с модулированнымпоказателемпреломления(ПП)n =n0(1+dncos2pz/L), где n0 – средний ПП; dn – глубина модуляции ПП; L – период изменения ПП; z – продольная координата. В качестве примера таких структур на практике могут выступать брэгговские решетки, вписанные в сердцевину волокна, которая легирована ионами Er, Yb или Tm [20, 21]. Указанные периодические структуры имеют продольные размеры от 0.1 до 50 мм. Методика их изготовления достаточно хорошо отработана. В настоящее время на практике все чаще применяется метод поточечной фемтосекундной записи [22]. В этом случае малая модуляция ПП обеспечивается за счет возникновения нелинейного поглощения фемтосекундных импульсов большой интенсивности при облучении сердцевины волокна [22, 23]. Для

ОВ

ВО (10%)

ОИ

ФК

Рис.1.  Схема кольцевого резонатора (КР):

ОВ – одномодовое волокно; ОИ – оптический изолятор; ФК – фотонный кристалл; ВО – выходной ответвитель.

стандартных одномодовых волокон глубина модуляции ПП dn может варьироваться в широких (10–3 – 10–6) пре­ делах [24, 25].

Как известно, при малой глубине модуляции коэффициент пропускания для такой структуры определяется стандартным выражением [26]:

В соотношении (1) L – длина ФК-структуры, а параметр S2 = k2 + ( g – iD b)2 определяется коэффициентом связи прямой и обратной волн k = 2p n0 dn /l0 и отстройкой от фазового синхронизма в активной ФК-структуре D b = n0 w/c – p/L, где l0 = 1.55 мкм – центральная длина волны.

Инкремент усиления ФК-структуры записывается с учетом ограниченности ширины линии усиления и эффектов насыщения в виде [27]:

где g0 – коэффициент усиления сигнала; Dw = 2p3 ´ 1012 c–1

– ширина линии усиления активного ФК элемента; Eg = 0.8 нДж – энергия насыщения активного элемента в однородной среде; twin – размер окна моделирования; A(t) – текущая амплитуда сигнала, проходящего через ФК.

Динамика распространения излучения в кольцевом резонаторе описывается стандартным нелинейным уравнением Шредингера (НУШ) и будет исследоваться в ОВ длиной 10 м с учетом дисперсионных и нелинейных эффектов:

где b2 = –20 пс2/км и b3 = 0.01 пс3/км – дисперсии ОВ второго и третьего порядков; g = 3 (Вт×км)–1 – керровская нелинейность волокна. Через оптический ответвитель выводится 10 % мощности на каждом из проходов излучения по резонатору. Изначально в системе находился шум, рассчитанный на 210 мод резонатора со случайными фазами и распределенными по Гауссу амплитудами. После нескольких тысяч оборотов (N > 2000) система выходит в режим стационарной генерации модулированного сигнала. На выходе из кольцевого резонатора излучение характеризуется сильной фазовой и относительно малой амплитудной модуляцией.

Типичный спектр пропускания активной ФК-струк­ туры характеризуется ярко выраженной запрещенной зоной, ширина которой определяется глубиной модуляции dn. Величина параметра модуляции при этом зависит от режима работы фемтосекундного лазера при записи решетки в волокно. Основным параметром структуры ФК является ширина запрещенной зоны, которая определяет частоту повторения импульсов и максимальный шаг гребенки частот. Важным условием успешной генерации гребенки является устойчивое перекрытие между узким пиком пропускания усиливающего ФК и одной из мод резонатора. Отметим, что на практике всегда присутствуют естественные флуктуации фазы импульса – временной джиттер или фазовый шум. Его наличие приводит к изме-

нению межимпульсного расстояния и обусловлено, прежде всего термическими эффектами, а также различного рода механическими (акустическими) воздействиями [28].

В настоящей работе влияние температурных и акустических эффектов на режим работы задающего генератора не учитывалось, но это может стать предметом для обсуждения в дальнейшем. Тем не менее для решения проблемы стабильности генерации в эксперименте необходимо обеспечить изоляцию конфигурации генератора от тепловых и механических воздействий внешней среды, поддерживая постоянную ширину запрещенной зоны и ее неизменное положение относительно мод резонатора. В возможных схемах дополнительной стабилизации могут быть использованы решения на основе оптоэлектронных цепей обратной связи [29].

Спектр генерируемого излучения имеет линейчатый вид с двумя ярко выраженными центральными линиями, имеющими максимальную яркость. Их положение со­ ответствует краям запрещенной зоны активной ФКструктуры. Спектральная картина может быть перестроена при выборе соответствующей глубины модуляции ПП (рис.2). Спектры сигналов (красные кривые) и спектры пропускания активной ФК-структуры (синие кривые) на выходе из кольцевого резонатора получены для трех значений параметра модуляции dn = 1.5 ´ 10–4, 6.5 ´ 10–4, 13.5 ´ 10–4, для которых ширина запрещенной­ зоны будет составлять W = 0.8 ´ 1011, 3.5 ´ 1011, 7.0 ´ 1011 c–1 соответственно.

Спектры пропускания ФК-структуры построены в соответствии с соотношением (1) для среднего ПП n0 = 1.4438 и общей длины L = 5 см. Аналогичные спектры были смоделированы численно для периодической структуры такой же длины, состоящей из двух чередующихся слоев с толщинами d1 = d2 = 268.4 нм и ПП n1 = n0 + in¢¢ и n2 = n1 + dn. Мнимая часть n¢¢ = 1.731 ´ 10–8 задает усиление в структуре.

Во временном представлении сигнал на выходе из резонатора представляет собой формирующуюся последовательность маломощных ультракоротких импульсов (УКИ), частота следования которых будет зависеть от глубины модуляции ПП в ФК-структуре. С увеличением параметра dn ширина фотонной запрещенной зоны увеличивается, что приводит к возрастанию частоты следования сигналов.

Врассматриваемой структуре узкополосное усиление

сшириной линии менее 10 кГц формируется на краях за-

прещенной зоны [15, 16, 30]. В этих областях групповая скорость стремится к нулю, а плотность состояний резко возрастает. Таким образом, структура будет иметь две узкополосные линии усиления, т. е. усиление сосредоточено в двух модах резонатора с разницей частот. Эта возможность позволяет успешно реализовать схему синхронизации мод при ДЧВС в рассматриваемой конфигурации. В данном процессе энергия «затравочных» мод перераспределяется­ на более высокие моды, а фазы взаимодействующих мод становятся синхронизованными [12, 14]. В модели совпадение между модой резонатора и пиком пропускания ФК обеспечивается специальным выбором размера окна моделирования twin = 215 ´ 0.5578 пс = 18.278 нс. Однако в реальном эксперименте может потребоваться тонкая настройка длины резонатора [27], которая обеспечивает формирование высококонтрастной гребенки частот с шириной одиночной линии значительно меньше 1 МГц. Интересный вариант модели можно получить с помощью управляемых ФК с контролем ширины запрещенной зоны [31]. В этом случае возможно реализовать точную настройку спектрального расстояния между двумя генерируемыми линиями усиления.

При моделировании параметр энергии насыщения усиления лежит в интервале [0.75, 0.9] нДж. Его значение выбрано таким образом, чтобы только две моды резонатора находились в области результирующего положительного усиления, а максимальный уровень сигнала оставался примерно равным 1 – 3 мВт. Как видно, в установившемся режиме система работает как генератор двухчастотной гребенки, где расстояние между двумя малыми гребенками в точности равно ширине запрещенной зоны (рис.2).

Большую спектральную яркость двух центральных линий можно объяснить тем, что рассматриваемая кольцевая система фактически представляет собой РОС-лазер, работающий как усилитель в режиме, предшествующем широкополосной генерации [32, 33]. В данном случае можно говорить о том, что в рамках рассматриваемого сценария в кольцевом генераторе происходит формирование системы из k устойчиво связанных осцилляторов (k » DwL/W, где DwL – общая ширина генерируемого линейчатого спектра). Данный режим работы лазера основан на особенностях активной среды, в которой время жизни оптических колебаний активных центров на лазерном переходе wr в районе запрещенной зоны активного ФК существенно больше времени жизни фотонов для

Спектральная яркость (10 дБ/дел)

-0.6

в

-0.6

других мод резонатора, участвующих в генерации. Генераторы со сходными свойствами были описаны как генераторы сверхизлучения [34, 35].

3. Каскадная схема генерации УКИ с широким линейчатым спектром

Далее рассмотрим усиление и временную компрессию полученной формирующейся последовательности импульсов. Для этого выход кольцевого генератора соединяется с дополнительным активным каскадом, состоящим из усилителя и пассивного световода. На рис.3 приведена схема усиления и временного сжатия импульсов до ультракороткой длительности.

Схема состоит из описанного выше кольцевого резонатора и последовательно соединенного с ним волоконного каскада, состоящего из активного и пассивного световодов. Расчетные параметры для элементов каскада приведены в табл.1.

Табл.1.  Расчетные параметры для волоконного каскада свето­ водов.

Формируемые кольцевым генератором последовательности импульсов представляют собой начальные условия сигнала, вводимого в волоконный каскад. Моделирование распространения излучения в каскаде световодов производится при помощи нелинейного уравнением Шредингера с рамановским откликом [36]:

где g – параметр характеризующий усиление (затухание) в каскадах световодов; tR – время нелинейного отклика среды;

t = t - y z dz/ug (z)

0

Рис.3.  Волоконная каскадная схема генерации УКИ.

– время в бегущей системе координат; ug(z) – групповая скорость волнового пакета; bj – дисперсионные пара­ метры j-го порядка соответственно. Параметры времени отклика и дисперсии групповых скоростей третьего порядка выбраны для всех элементов каскада одинаковыми и равными – tR » 3 ´ 10–15 и b3 = 10–41 c3/м соответственно.

При распространении модулированного сигнала в волоконном каскаде под влиянием нелинейных эффектов модуляционной неустойчивости (МН) происходит формирование последовательности импульсов (вставки на рис.3). Повышение пиковой мощности без существенной потери качества и незначительное уширение спектра реализуется в усилителе. Устойчивая последовательность УКИ окончательно формируется на некоторой длине пассивного участка волокна – длине оптимальной компрессии импульсов, определяющейся численно на основании эволюционных картин. На данном участке пиковые мощности импульсов существенно возрастают, а спектр излучения значительно уширяется.

На рис.4 приведены спектральные (верхний ряд) и временные (нижний ряд) характеристики сигнала, прошедшего каскад световодов. Случаям б и в соответствуют верхние части спектров. Для наглядности на вставке (рис.4,б) полностью показана гребенка частот при заданной модуляции dn = 6.5 ´ 10–4. Во всех случаях за счет влияния МН амплитудно-модулированный сигнал преобразуется в последовательность коротких импульсов, период следования которых равен Ti = 2p/Wi, где Wi – ширина ФЗЗ соответствующей ФК-структуры.

Ширина гребенки частот определяется параметром модуляции и на уровне ~ –10 дБ будет составлять

Dw » 1 ´ 1012, 50 ´ 1012, 96 ´ 1012 c–1 для значений dn = 1.5 ´ 10–4, 6.5 ´ 10–4, 13.5 ´ 10–4 соответственно. Как вид-

но из рис.4, спектры выходного излучения представляют собой два гребня оптических частот, разделенных запрещенной зоной активного ФК элемента. Наиболее яркие линии располагаются на краях запрещенной зоны и совпадают с линиями усиления, задаваемых РОС-гене­ ратором. Во всех случаях спектральный интервал между линиями в точности совпадает с шириной ФЗЗ.

Форма генерируемых импульсов при увеличении ширины ФЗЗ незначительно изменяется, а для частот W2 и W3 остается практически неизменной. Длительность отдельного импульса составляет несколько пикосекунд. Пиковая мощность при этом возрастает более чем на три порядка по сравнению с пиковой мощностью, выдаваемой задающим генератором, и составляет P » 14 – 28 Вт в зависимости от выбранных характеристик ФК.

В рассматриваемом варианте схемы частота следования импульсов f = 12.74, 55.73, 111.46 ГГц ограничена величиной ширины запрещенной зоны, определяемой в основном амплитудой модуляции показателя преломления dn ~ 10–4 . В настоящее время, получение изменения ПП свыше dn > 10–3 достигается за счет применения водородонагруженных волокон [37]. Ширина запрещенной зоны брэгговских решеток, вписанных в такие световоды, может быть значительно увеличена для получения частот следования импульсов в сотни гигагерц.

Другой способ развития предложенной модели основан на возможности точной настройки ширины запрещенной зоны за счет локального нагрева или механической деформации волоконной брэгговской решетки. Детальное исследование изменений частотной гребенки в

Рис.4.  Спектры сигналов (верхний ряд) и соответствующие им временные зависимости (нижний да для значений параметра dn = 1.5 ´ 10–4 (а), 6.5 ´ 10–4 (б) и 13.5 ´ 10–4 (в).

P(Вт)

500

( f3 = 111.46 ГГц)

T3 = 2p/W3

ряд) на выходе из усиливающего каска-

зависимости от тонкой настройки ширины запрещенной зоны может стать предметом будущих исследований.

Дополнительно повысить пиковую мощность генерируемых УКИ возможно при изменении коэффициента усиления g0 активного волокна при сохранении ширины линии усиления. В этом случае длина участка пассивного волокна будет уменьшаться и для каждого значения коэффициента усиления определяться численно. Здесь важно отметить определяющую роль нелинейных эффектов, проявляющихся в приобретении дополнительной фазовой модуляции (ФМ). При выборе малых значений нелинейности R = 0.0005 (Вт×м)–1 рост усиления приводит к значительному повышению пиковой мощности и уменьшению длительности УКИ (рис.5,а). Длины наилучшей компрессии здесь составляют zcom = 7000, 3000, 1100 м для g0 = 3.0, 3.7 и 4.6 м–1 соответственно. Пиковая мощность в данном случае может достигать P » 500 Вт практически без изменения длительности и искажения формы отдельно взятого УКИ (синяя кривая). Подобным уровнем нелинейности характеризуются, например, квазиодномодовые градиентные GRIN-светово­ды [38, 39]. Увеличение нелинейности R > 0.0005 (Вт×м)–1 способствует быстрому развитию МН и формированию последовательностей импульсов с относительно небольшими пиковыми мощностями на меньших длинах каскада. В результате пиковая мощность генерируемых УКИ будет снижаться. Видно, что в световодах с меньшими значениями нелинейности при одинаковом промежуточном усилении можно получать импульсы с более высокими пиковыми мощностями. Однако в таких световодах процесс формирования УКИ приводит не только к существенному увеличению пиковых мощностей импульсов, но и к образованию достаточно широкого пьедестала в результате влияния фазовой самомодуляции.

4. Заключение

В работе рассмотрена модель волоконного генератора гребенки частот, расширяющая известный подход к созданию лазеров с гармонической синхронизацией мод на основе ДЧВС. Ключевым элементом модели является усиливающий ФК, совмещающий функции внутрирезонаторного фильтра и усилителя мощности. На основе данной модели предложена методика генерации высокочастотных последовательностей УКИ. Спектр формируемых импульсов представляет собой кратные гребенки, разделенные запрещенной зоной, с наиболее яркими линиями на ее краях. Выявлено, что ширина ФЗЗ определяет частоту следования генерируемых УКИ.

Рассмотрена возможность использования соответствующих волоконных каскадов в качестве генераторов высокочастотных последовательностей УКИ. Показано, что амплитуда формируемых в конечном итоге импульсов может на порядки превышать мощность исходного излучения, получаемого на выходе из кольцевого резонатора. Отметим, что использование широкополосных усилителей с шириной линии усиления более 10 нм и волоконных световодов с большой площадью моды и малой нелинейностью открывает возможность для генерации импульсов с пиковыми мощностями более 1 кВт и частотами следования сигналов от единиц до десятков гигагерц. Отдельным важным применением соответствующих волоконных каскадов является их использование в качестве полностью волоконных генераторов линейчато-

го спектра с большой спектральной яркостью отдельных линий. Полученные результаты позволяют надеяться на возможность применения рассмотренных систем в различных областях спектроскопии, радиофотоники и квантовой электроники.

Также важным является вопрос, касающийся баланса мощности в генераторе. В приведенном варианте модели потери сосредоточены на выходном ответвителе и не превышают 10 %. Выигрыш, полученный в коротком эрбиевом волокне с вписанной брэгговской решеткой, вполне достаточен для компенсации этих потерь. Тем не менее в реальном эксперименте общие потери будут в несколько раз выше, а увеличение длины брэгговской решетки может быть технологически затруднительным. Необходи­ мый баланс мощности в системе может быть получен за счет точного подбора мощности накачки и длины легированного волокна, которая должна быть больше брэгговской решетки. В точно сбалансированной системе достигнутый коэффициент усиления компенсирует потери на стыках волокон, выходном ответвителе и обеспечивает генерацию только на двух «затравочных» модах.

Работа поддержана Министерством науки и высшего образования РФ (проект № FEUF-2023-0003, стипендия президента РФ СП-4058.2021.5) и Российским научным фондом (проект 23-22-00412).

1.Bandelow U., Radziunas M., Vladimirov A., Hüttl B., Kaiser R.

Opt. Quantum Electron., 38, 495 (2006).

2.Kippenberg T.J., Holzwarth R., Diddams S.A. Science, 332, 6029 (2011).

3.Волков И.А., Камынин В.А., Итрин П.А., Ушаков С.Н., Нищев К.Н., Цветков В.Б. Квантовая электроника, 50 (2), 153 (2020) [Quantum Electron., 50 (2), 153 (2020)].

4.Трикшев А.И., Камынин В.А., Цветков В.Б., Итрин П.А.

Квантовая электроника, 48 (12), 1109 (2018) [Quantum Electron.,

48 (12), 1109 (2018)].

5.Рибенек В.А., Золотовский И.О., Итрин П.А., Коробко Д.А.

Квантовая электроника, 52 (7), 604 (2022).

6.Fermann M.E., Hartl I. Nature Photonics, 7 (11), 868 (2013).

7.Komarov A., Leblond H., Sanchez F. Opt. Commun., 267 (1), 162 (2006).

8.Liu X., Meng P. Laser & Photonics Rev., 13 (9), 1800333 (2019).

9.Lin G.-R., Wu M.-C., Chang Y.-C. Opt. Lett., 30, 1834 (2005).

10.Ribenek V.A., Korobko D.A., Fotiadi A.A., Taylor J.R. Opt. Lett., 47 (19), 5236 (2022).

11.Korobko D.A., Ribenek V.A., Stoliarov D.A., Mégret P., Fotiadi A.A. Opt. Express., 30 (10), 17243 (2022).

12.Quiroga-Teixeiro M., Clausen C.B., Sowrensen M.P., Christiansen P.L., Andrekson P.A. J. Opt. Soc. Am. B., 15 (4), 1315 (1998).

13.Peccianti M., Pasquazi A., Park Y., Moss D.J., Little B.E., Chu S.T. Morandotti R. Nat. Commun., 3, 765 (2012).

14.Korobko D.A., Fotiadi A.A., Zolotovskii I.O. Opt. Express., 25 (18), 21180 (2017).

15.Lu Zh., Chen H.-J., Wang W., Yao L. Nat. Commun., 12, 3179 (2021).

16.Mittal S., Moille G., Srinivasan K., Chembo Y.K., Hafezi M. Nat. Phys., 17, 1169 (2021).

17.Kim B.Y., Jang J.K., Okawachi Y., Ji X., Lipson M., Gaeta A.L. Sci. Adv., 7, 4362 (2021).

18.Chen Yu-Sh., Yan P.-G., Chen H., Liu Ai-J., Ruan Sh.-Ch. Photonics, 2 (2), 342 (2015).

19.Moiseev S.G., Glukhov I.A., Dadoenkova Y.S., Bentivegna F.L. J. Opt. Soc. Am. B, 36 (6), 1645 (2019).

20.Kringlebotn J.T., Archambault J.-L., Reekie L., Payne D.N. Opt. Lett., 19 (24), 2101 (1994).

21.Zhao Y., Chang J., Wang Q., Ni J., Song Z., Qi H., Wang C., Wang P., Gao L., Sun Z. Opt. Express., 21 (19), 22515 (2013).

22.Wolf A., Dostovalov A., Skvortsov M., Raspopin K., Parygin A., Babin S. Opt. & Laser Tech., 101, 202 (2018).

23.Достовалов А.В., Вольф А.А., Бабин С.А. Прикладная фотоника, 2, 48 (2014).

24.Курков А.С., Дианов Е.М. Квантовая электроника, 34 (10), 881 (2004) [Quantum Electron., 34 (10), 881 (2004)].

25.Kashyap R. Fiber Bragg Gratings (Academic Press, 2010).

26.Yariv A. Quantum Electronics (New York: Wiley, 1975).

27.Spirin V.V., López-Mercado C.A., Kablukov S.I., Zlobina E.A., Zolotovskii I.O., Mégret P., Fotiadi A.A. Opt. Lett., 38 (14), 2528 (2013).

28.Fotiadi A.A., Zakharov N., Antipov O.L., Megret P. Opt. Lett., 34 (22), 3575 (2009).

29.Suelzer J.S., Simpson T.B., Devgan P., Usechak N.G. Opt. Lett., 42 (16), 3181 (2017).

30.Asahara A., Minoshima K. Appl. Phys. Express, 12, 072014 (2019).

31.Sakoda K. Optical Properties Photonic Crystals (Springer Berlin, Heidelberg, 2005).

32.Zhao Q., Wang Y.J., Xu T.W., Dai X., Li F., Qu Y. Laser Phys. Lett., 10 (7), 075105 (2013).

33.Wong A.C.L., Chung W.H., Tam H.Y., Lu C. Laser Phys., 21 (1), 163 (2011).

34.Kocharovsky Vl.V., Belyanin A.A., Kocharovskaya E.R., Kocharovsky V.V. Advanced Lasers: Laser Physics and Technology for Applied and Fundamental Science (Springer Series in Optical Sciences, 2015).

35.Кочаровский Вл.В., Железняков В.В., Кочаровская Е.Р.,

Кочаровский В.В. УФН, 187, 367 (2017) [Phys. Usp. 60, 345 (2017)].

36.Agrawal G.P. Nonlinear Fiber Optics (Academic Press, 2013).

37.Lemaire P.J., Atkins R.M., Mizrahi V., Reed W.A. Electron. Lett., 13 (29), 1191 (1993).

38.Zolotovskii I.O., Korobko D.A., Lapin V.A., Mironov P.P., Sementsov D.I., Yavtushenko M.S., Fotiadi A.A. J. Opt. Soc. Am. B, 36 (10), 2877 (2019).

39.Malomed B.A. Soliton Management in Periodic Systems (Springer Science & Business Media, 2006).