УСР5

Управляемая самостоятельная работа №5

Основы дисперсионного анализа

Выполнила: Ничипорук Анна, 23БХ-1

1. Назначение дисперсионного анализа.

Дисперсионного анализа основан на разложении общей дисперсии статистического комплекса на составляющие ее компоненты (от сюда и название метода), сравнивая которые друг с другом посредством F критерия можно определить, какую долю общей вариации учитываемого (ре зультативного) признака обусловливает действие на него как регулируемых, так и не регулируемых в опыте факторов.

Целью дисперсионного анализа является проверка значимости различия между средними с помощью сравнения дисперсий. Диспер сию измеряемого признака разлагают на независимые слагаемые, каждое из которых характеризует влияние того или иного фактора или их взаимодей ствия. Последующее сравнение таких слагаемых позволяет оценить значи мость каждого изучаемого фактора, а также их комбинации.

Иногда дисперсионный анализ применяется, чтобы установить одно родность нескольких совокупностей, которые можно объединить в одну и тем самым получить о ней более полную информацию, следовательно, и бо лее надежные выводы.

2/4. Расчет внутри- и межгрупповой дисперсий при однофакторном анализе с равномерным дисперсионным комплексом. Определение внутри- и межгруппового числа степеней свободы.

Чтобы выделить степень влияния фактора на признак, рассчитывают несколько видов дисперсий:

1) общую,

2) межгрупповую,

3) внутригрупповую.

Межгрупповая (факторная) дисперсия выражает изменчивость изучаемого признака только под влиянием регулируемого фактора и рассчитывается как отклонение средних значений, рассчитанных в каждой группе, от общей средней.

Внутригрупповые (остаточные) дисперсии отражают изменчивость результативного признака под влиянием всех других, не учтенных в исследовании признаков (исключая влияние регулируемого фактора) и рассчитываются как отклонения индивидуальных значений от групповой средней.

Схема проведения однофакторного дисперсионного анализа

1. Исходные данные группируют в виде комбинационной таблицы, где n – численность вариант в каждой из градаций дисперсионного комплекса, а – число градаций фактора А, N – общее число наблюдений, или объем комплекса (N = n.а).

2. Формулируют гипотезы:

Н0: разность между генеральными средними значениями нескольких сравниваемых групп с одинаковыми дисперсиями равна нулю, различия, наблюдаемые между выборочными показателями, вызваны случайными при чинами, а не влиянием на признак регулируемого фактора.

Н1: разность между генеральными средними значениями нескольких сравниваемых групп с одинаковыми дисперсиями не равна нулю, различия, наблюдаемые между выборочными показателями, вызваны систематическим влиянием на признак регулируемого фактора.

3. Рассчитывают вспомогательные величины: Для каждой градации фактора А рассчитывают сумму вариант xi по по вторностям , суммируют эти суммы , результат возводят в квадрат, получают сумму №1. Суммы вариант xi по повторностям возводят в квадрат , суммируют эти суммы, результат делят на количество повторно стей n, получают сумму №2. Возводят в квадрат каждую варианту выборки, не обращая внимания на градации, рассчитывают сумму всех квадратов , получают сумму №3.

4. Сумму №1 делят на общее число наблюдений N и получают величину H

5. Высчитывают соответствующие девиаты, используя следующее равенство: Dy = Dx + De , где Dx – межгрупповая девиата, De – внутригрупповая девиата, Dy – об щая девиата. В однофакторном анализе Dx = DA, Dy = summa №3 – H; DA = summa №2 91 Полесский государственный университет – H; De = Dy – DA,

6. Определяют числа степеней свободы k: ky = N – 1; для общего варьирования; kA = a – 1; для факториального ва рьирования; ke = (N – 1) – (a – 1) = N – a; для внутригрупповой (остаточной) вариации. Равенство: ky = kx + ke позволяет контролировать правильность расчета чисел степеней свободы.

7. Делением девиат на соответствующие числа степеней свободы получают выборочные дисперсии

8. Определяют дисперсионное отношение Fф, по которому судят о действии фактора А на результативный признак.

Вывод: если фактически установленная величина Fф больше таблично го значения критерия Фишера Fst для принятого уровня значимости β и чисел свободы kA и ke , нулевую гипотезу отвергают, и эффективность действия фактора А на результативный признак Х признают статистически достовер ной, в противном случае отвергать нулевую гипотезу нельзя.

3. F-критерий Фишера.

Для оценки качества подбора линейной функции к выборочным данным проводится дисперсионный анализ, и оценка значимости полученного урав нения регрессии дается с помощью F-критерия Фишера. В основе проверки значимости регрессии лежит идея разложения общей дисперсии результа тивного признака на факторную и остаточную дисперсии, т.е. объясненную (за счет независимых факторов) часть дисперсии и часть, оставшуюся необъ ясненной в рамках данной модели. Предварительно рассчитываются девиаты, степени свободы, а потом и соответствующие дисперсии. Гипотезы такие же, как в случае проверки достоверности коэффициента регрессии, а выво ды различаются.

Гипотезы:

Н0: в генеральной совокупности коэффициент регрессии равен нулю, признак-фактор не влияет на признак-результат.

Н1: в генеральной совокупности коэффициент регрессии не равен нулю, признак-фактор влияет на признак-результат.

3. Понятие о многофакторном дисперсионном анализе.

Приступая к рассмотрению двух-факторных равномерных и пропорциональных комплексов, следует заметить, что при их образовании, как и во обще при образовании многофакторных комплексов, необходимо, чтобы регулируемые факторы были независимы друг от друга. Выполнение этого требования — независимости факторов — одно из важнейших условий пра вильного применения дисперсионного анализа. Нельзя подвергать дисперси онному анализу корреляционно связанные признаки, такие, например, как масса тела и его линейные размеры и т. п. Общая схема дисперсионного анализа двухфакторных комплексов в принципе не отличается от схемы однофакторного анализа. Но этот анализ более сложен, поскольку наряду с действием каждого фактора А и В в от дельности необходимо учитывать и их совместное действие на результатив ный признак:

Dy = Dx + De , Dx = DA + DB + DAB, Dy = DA + DB + DAB + De.

При анализе трех регулируемых факторов А, В и С наряду с их индиви дуальным действием учитывают влияние на признак трех попарных сочета ний (АВ, АС, BС) и их совместное действие (ABC):

Dy = DA + DB +DC + DAB + DAC +DBC + DABC + De .

При большем числе учитываемых факторов число их возможных соче таний будет еще больше. В изучении влияния на результативный признак всех учитываемых факторов и их возможных комбинаций и заключается ос новная задача дисперсионного анализа. При этом не всегда необходимо учи тывать все возможные сочетания организованных факторов. Этот вопрос исследователь решает самостоятельно в зависимости от цели исследования и принятой полноты дисперсионного анализа.