МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И

МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Московский технический университет связи и информатики»

Кафедра «Информатика»

Лабораторная работа №2

«Интерполяция функций»

по дисциплине

«Численные методы»

Выполнил студент гр:

https://t.me/mattervisualizer

Проверил:

Москва, 2023 г.

Содержание.

1. Общее задание. 3

2. Метод Лагранжа. 4

3. Метод Ньютона. 7

4. Вывод. 11

1. Общее задание.

В данной лабораторной работе необходимо выполнить вручную интерполяцию методами Лагранжа в точке и метод Ньютона в точке . Необходимо записать интерполяционные формулы 1-ой, 2-ой и 3-ей степени полинома, выполнить расчёты по каждой интерполяционной формуле и вычислить погрешность для обоих методов.

2. Метод Лагранжа.

Вся работа была выполнена в математическом пакете Mathcad. Первым делом вычисления будут производиться методом Лагранжа (рисунок 2.1.)

Рисунок 2.1. – Перенесённые данные.

Здесь – номер узла, – данный корень. Таблица – значения, которые приближены к исходному корню, а5 таблица – значение функции, взятое из таблицы, представленной в методических материалах. Запишем значения в таблицу (см. таблицу 2.1).

Таблица 2.1. – Приближённые значения и соответствующие им значения

Номер узла	x	y
0
1
2
3

После переноса данных в Mathcad были вычислениы полиномов Лагранжа. (рисунок 2.2.)

Рисунок 2.2. – Вычисления полиномов Лагранжа 1, 2 и 3 степени.

Проверка вычисления полиномов Лагранжа ручным расчётом выполнена и показана ниже. (рисунок 2.3.)

Рисунок 2.3. – Ручной расчёт вычисления полиномов Лагранжа 1, 2 и 3 степени и сравнение с машинным расчётом.

Машинный и ручной расчёт идентичны, что означает правильность вычислений. Для удобства все значения вычисленных полиномов Лагранжа записаны в таблицу (см. таблицу 2.2).

Таблица 2.2. – Значения полиномов Лагранжа 1, 2 и 3 степени.

Полиномы Лагранжа вычислены. Ниже представлены вычисления оценок погрешностей полиномов Лагранжа 1-ой и 2-ой степени (рисунок 2.3)

Рисунок 2.4. – Оценка погрешностей для полиномов Лагранжа 1-ой и 2-ой степени.

Перенесём полученные данные в таблицу (см. таблицу 2.3).

Таблица 2.3. – Оценка погрешностей для полиномов Лагранжа.

		Погрешность

Погрешность (последней из произведённых, в которой можно оценить эту самую погрешность) получилась меньше, чем 0.001, из чего следует правильность расчёта.

3. Метод Ньютона.

Переходим к методу Ньютона. Перенесённые данные представлены ниже (рисунок 3.1)

Рисунок 3.1. – Перенесённые данные.

Здесь – номер итерации, – данный корень. Таблица – значения, которые приближены к исходному корню, а таблица – значение функции, взятое из таблицы, представленной в методических материалах. Значения были записаны в таблицу ниже. (см. таблицу 3.1.)

Таблица 3.1. – Приближённые значения и соответствующие им значения

x	y

Вычисление конечных разностей 1-ого, 2-ого и 3-его порядка представлены ниже (рисунок 3.2.)

Рисунок 3.2. – Вычисление конечных разниц 1-ого, 2-ого и 3-его порядков.

Для удобства все значения вычисленных конечных разниц записаны в таблицу (см. таблицу 3.2).

Таблица 3.2. – Приближённые значения и соответствующие им значения и конечные разницы 1-ого, 2-ого и 3-его порядков.

x	y
		123

Вычисленные полиномы Ньютона показаны ниже. (рисунок 3.3), где - шаг для узлов.

Рисунок 3.3. – Вычисление полиномов Ньютона.

Машинный и ручной расчёт идентичны, что означает правильность вычислений. Для удобства все значения вычисленных полиномов Лагранжа записаны в таблицу (см. таблицу 3.3).

Таблица 3.3. – Значения полиномов Ньютона 1, 2 и 3 степени.

Полиномы Ньютона вычислены. Ниже представлены вычисления оценок погрешностей полиномов Ньютона 1-ой и 2-ой степени (рисунок 3.4)

Рисунок 3.4. – Оценка погрешностей для полиномов Ньютона 1-ой и 2-ой степени.

Полученные данные перенесены в таблицу ниже. (см. таблицу 3.4)

Таблица 3.4. – Оценка погрешностей для полиномов Ньютона.

		Погрешность

Погрешность (последней из произведённых, в которой можно оценить эту самую погрешность) получилась меньше, чем 0.001, из чего следует правильность расчёта.

4. Вывод.

В процессе выполнения лабораторной работы была произведена интерполяция методами Лагранжа и Ньютона и оценена погрешность этих методов. При увеличении степени полиномов обоих методов увеличивается точность вычисления (см. таблицу 4.1, таблицу 4.2 и таблицу 4.3).

Таблица 4.1. – Сравнение погрешностей путём вычислений методами Лагранжа и Ньютона.

Полином	Точность метода Лагранжа	Точность метода Ньютона

Таблица 4.2. – Таблица полиномов.

Степень	Полином Лагранжа	Полином Ньютона
3

Таблица 4.3. – Таблица значений полиномов в узлах интерполяции