2.5. Линеаризация модели и анализ в среде matlab/Simulink

Программа MATLAB/Simulink позволяет получить линеаризованную модель в численном виде для малых отклонений от положения равновесия по команде

>> [A,B,C,D] = linmod2 (‘mylab1’)

если в правой части команды вписать имя Simulink-модели. Для выбранных для иллюстрации параметров модели получим следующие матрицы:

Получена четвёрка матриц системы линейных дифференциальных уравнений в форме пространства состояний (2.4), где: — абстрактный вектор состояний.

Сопоставляя матрицы, полученные вручную (2.2), (2.3) и по команде linmod2, можно заметить отличие в расположении элементов. Это объясняется различной нумерацией переменных. Соответствие между абстрактным и физическим векторами состояний легко устанавливается по структуре матриц: .

Вычислим собственные значения матрицы A с помощью команды:

Имеется двукратное нулевое собственное значение и одно «правое», что говорит о неустойчивости положения равновесия. Это отвечает нашим представлениям о поведении объекта и результатам компьютерного моделирования.

Программа MATLAB/Control System Toolbox позволяет получить передаточную функцию объекта численно. Для получения числителя и знаменателя ПФ воспользуемся командами

Вычислительные ошибки приводят к наличию весьма малых коэффициентов, к сожалению, иногда повышающих степени полиномов. Следует вручную отредактировать коэффициенты. Далее получим ПФ объекта для малых отклонений и найдём нули и полюса

Получена так называемая факторизованная форма ПФ.

Полюсы ПФ являются корнями ХП, т. е. собственными значениями матрицы A.

3. Синтез системы автоматической стабилизации методом пространства состояний

3.1. Синтез регулятора состояния

Целью системы автоматического управления является стабилизация верхнего неустойчивого положения равновесия маятника. Каретка должна находиться в заданном положении покоя.

Задачу будем решать на основе линеаризованной модели объекта, т. е. система автоматической стабилизации должна будет обеспечивать устойчивость при достаточно малых отклонениях состояния от положения равновесия.

Пусть имеется информация о все переменные состояния объекта

. (3.1)

Алгоритм регулятора состояния запишется так:

f ≡ . (3.2)

Уравнение замкнутой системы в стандартной форме пространства состояний (2.4) получим, если из уравнений объекта (3.1) и регулятора состояния (3.2) исключим переменную

,

где — матрица замкнутой системы. Отметим, что замкнутая система получилась автономной — она не имеет входов.

Задача синтеза регулятора имеет решение, если объект управляем. Для анализа управляемости воспользуемся критерием Калмана, который сводится к проверке ранга матрицы управляемости .

Матрица управляемости имеет полный ранг, что свидетельствует о полной управляемости объекта. Действуя с силой на каретку, можно менять все переменные состояния — стабилизировать верхнее положение маятника и привести каретку в исходное положение.

Задача синтеза заключается в определении матрицы регулятора состояния K из условия желаемого расположения собственных значений матрицы состояний системы (корней характеристического полинома).

В русскоязычной технической литературе метод синтеза из условия желаемого размещения собственных значений иногда называют «модальным управлением», т. е. управлением модами — составляющими движения системы exp(s_it), отвечающими собственным значениям s_i матрицы состояний.

Существует произвол в выборе желаемых собственных значений системы. Ясно, что все они должны иметь отрицательные действительные части, причем, чем дальше от мнимой оси находится собственное значение, тем быстрее затухает составляющая процесса. Вместе с тем, большее быстродействие системы управления достигается при больших ускорениях, что означает необходимость в приложении чрезмерных усилий на каретку.

Выбор, как всегда, компромисс между противоречивыми требованиями. Если нет особых требований к быстродействию системы управления, следует ориентироваться на естественную динамику объекта, т. е. на собственные значения объекта.

Матрицу регулятора, обеспечивающего желаемое расположение собственных значений, найдем по команде и проведём анализ устойчивости: