2.2. Линеаризация дифференциальных уравнений

Аналитические методы исследования и синтеза систем управления по нелинейным моделям разработаны только для частных случаев. Для исследования поведения объекта управления при любых отклонениях исходные нелинейные уравнения (1.3) необходимо решать численными методами — проводить компьютерное моделирование.

Устойчивость «в малом» положения равновесия нелинейной модели (1.7) можно выявить по линеаризованной модели. Ляпунов показал (первый метод), что об устойчивости «в малом» положении равновесия можно судить по линеаризованным уравнениям.

Будем рассматривать малые отклонения переменных y и , когда приближенно можно принять: Пренебрегая малыми величинами высших порядков, вместо нелинейных уравнений (1.3) получим линейные (линеаризованные) уравнения:

(2.1)

Запишем линейную систему (2.1) в матричной форме с использованием вектора состояний

; (2.2)

. (2.3)

Первое из этих уравнений (2.2) называется уравнением состояний, второе (2.3) — уравнением выхода. В уравнении (2.3) за выход объекта — непосредственно измеряемую переменную — принято положение каретки, т. е. скаляр. Поэтому матрица выхода С оказывается строкой.

Получена линейная модель в так называемой форме пространства состояний (ФПС):

. (2.4)

Линеаризованные уравнения (2.1)—(2.4) позволяют исследовать устойчивость и процессы при малых отклонениях состояния маятника на каретке от верхнего положения равновесия.

Для линейных моделей разработано большое количество методов, алгоритмов и программ анализа и синтеза систем управления. Будем пользоваться программой MATLAB/Control System Toolbox.

2.3. Передаточная функция объекта

Передаточная функция (ПФ) линейной модели представляет собой отношение изображений выхода и входа при нулевых начальных условиях.

Получим характеристический полином (ХП)матрицы состояний в символьном виде

, (2.5)

который является знаменателем ПФ.

Далее получим полиномы числителей ПФ: от входа — силы f, приложенной к каретке, до переменной выхода — положения каретки

, (2.6)

и до переменной — углового положения маятника

. (2.7)

2.4. Анализ устойчивости положения равновесия

Условием асимптотической устойчивости положения равновесия является: ∀i: , где ; i = 1, 2, 3, 4 — собственные значения матрицы A (корни его ХП). Геометрическим условием устойчивости положения равновесия является принадлежность корней ХП линеаризованной системы левой полуплоскости.

В символьном виде корни ХП маятника на каретке (2.6) равны:

.

Имеется действительный положительный корень (в правой полуплоскости); кроме того, полином имеет двукратный нулевой корень. Это свидетельствует о неустойчивости положения равновесия нелинейной системы.