1.3. Дифференциальные уравнения в форме Коши
Анализ объекта и его компьютерное моделирование упрощаются, если дифференциальные уравнения разрешены относительно старших производных.
Заметим, что вторые производные в уравнения (1.1), (1.2) входят линейно. С учетом этого, приведем систему уравнений к матричной форме:
.
Прежде всего, проверим существование и единственность решения — вычислим определитель матрицы:
и убедимся в том, что он не равен нулю.
Для решения системы уравнений воспользуемся правилом Крамера
Теперь легко записать уравнения объекта в форме Коши:
;
;
(1.3)
;
Заметим, что правые
части уравнений не содержат переменных
,
т. е. положение и скорость каретки не
влияют на ускорения маятника и каретки.
Объект может занимать любое положение
или совершать равномерное поступательное
движение.
2. Анализ объекта управления
2.1. Компьютерное моделирование
Исходные нелинейные дифференциальные уравнения (1.3) нельзя решить аналитическим способом. Поэтому используют численные решения при конкретных начальных условиях и внешних воздействиях. Для автоматизации численных решений разработаны программные средства; далее будем использовать программу MATLAB/Simulink фирмы The MathWorks, Inc.
Построение компьютерной модели сводится к выбору соответствующих библиотечных блоков и их соединение ориентированными связями, как показано на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Модель объекта на языке графического редактора Simulink
Представленная
на рис. 2.1 структурная схема — модель
объекта (программа) на языке графического
редактора Simulink.
Основу программы
образуют два двойных интегратора,
входами которых являются вторые
производные переменных. Блоки
Fcn
реализуют выражения, находящиеся в
правых частях второго и четвертого
уравнений системы (1.3). На входы этих
блоков подается вектор
,
сформированный блоком mux.
В блоках функций Fcn находится следующее:
Проведем компьютерный
эксперимент при начальных условиях:
— маятник отклонен на 1 рад, угловая
скорость маятника, положение и скорость
каретки равны нулю. Рассматриваем
свободные движения автономной системы
— к каретке не приложена сила, т. е не
оказывается управляющее воздействие
.
На рис. 2.2 приведены
результаты компьютерной имитации
объекта. Из графиков ясно, что верхнее
положение маятника не устойчиво — при
отклонении от него состояние системы
не возвращается к нему, а начинаются
колебания маятника с амплитудой
радиан относительно нижнего положения
равновесия. Каретка также совершает
периодические движения своеобразной
формы (при движениях автономной
механической системе центр тяжести
остается неизменным).
Рис. 2.2. Поведение
объекта при начальных условиях
—
маятник отклонен на 1 рад
Колебания маятника и каретки не затухают, так как математическая модель игнорирует потери энергии на преодоление сопротивления среды и трение.
Для стабилизации верхнего положения равновесия маятника необходимо создать автоматическую систему управления.