Понятие статистической гипотезы. Примеры статистических гипотез
Проверка статистических гипотез тесно связана с теорией оценивания параметров. В естествознании, технике, экономике для выяснения того или иного случайного факта часто прибегают к высказыванию гипотез, которые можно проверить статистически, т. е. опираясь на результаты наблюдений в случайной выборке. Под статистическими подразумеваются такие гипотезы, которые относятся или к виду, или к отдельным параметрам распределения случайной величины. Например, статистической является гипотеза о том, что распределение производительности труда рабочих, выполняющих одинаковую работу в одинаковых условиях, имеет нормальный закон распределения. Статистической будет также гипотеза о том, что средние размеры деталей, производимые на однотипных, параллельно работающих станках, не различаются.
Статистическая гипотеза называется простой, если она однозначно определяет распределение случайной величины X, в противном случае гипотеза называется сложной. Например, простой гипотезой является предположение о том, что случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Если высказывается предположение, что случайная величина X имеет нормальное распределение с дисперсией, равной единице, а математическое ожидание — число из отрезка [a;b], то это сложная гипотеза. Другим примером сложной гипотезы является предположение о том, что непрерывная случайная величина A с вероятностью 1\3 принимает значение из интервала (1;5), в этом случае распределение случайной величины X может быть любым из класса непрерывных распределений.
Часто распределение величины X известно, и по выборке наблюдений необходимо проверить предположения о значении параметров этого распределения. Такие гипотезы называются параметрическими.
Закон распределения результатов измерений. Характеристика закона Гаусса.
Одним из экспоненциальных законов распределения является так называемое нормальное распределение (распределение Гаусса). Закон распределения погрешностей результата измерения принято считать нормальным в том случае, когда полная погрешность образуется из большого числа независимых случайных составляющих (частных погрешностей), независимо от их законов распределения, при условии, что ни одна из этих частных погрешностей не преобладает над всеми остальными.
Формула для плотности вероятности нормального распределения погрешностей имеет следующий вид: p(Δ)=1/(σ√(2π))∙exp[-(Δ-M(Δ))/(2σ2)] .
Как видно из формулы, нормальный закон полностью характеризуется двумя числовыми характеристиками - математическим ожиданием M(Δ) и дисперсией σ. Колоколообразная кривая нормального распределения симметрична относительно оси ординат. Это означает, что погрешности, одинаковые по величине, но противоположные по знаку, встречаются одинаково часто.Данные свойства иллюстрирует рис. Так, площадь под кривой плотности распределения вероятности в интервале Δ2-Δ1 существенно больше, чем площадь в равном интервале Δ4-Δ3. Площадь же под кривой плотности распределения вероятностей характеризует вероятность появления погрешностей.
рис.
2
рис.3
Рис. 3 иллюстрирует изменение формы кривой плотности распределения вероятностей при различных значениях средних квадратических отклонений (σ1>σ2>σ3). Видно, что чем большее значение имеет σ, тем больше результаты измерений рассеянны, тем больше вероятность проявления больших погрешностей. Таким образом, чем меньше значение σ, тем выше качество измерений.
Таким образом, мерой степени согласия между результатами последовательно проводимых измерений одной и той же величины является повторяемость измерений, причем предполагается, что измерения производятся одним и тем же методом, на одной и той же аппаратуре, при неизменных рабочих условиях и в течение короткого отрезка времени. Чем выше повторяемость, тем меньше неопределенность результата многократного измерения. Воспроизводимость результата измерения характеризуется близостью результатов, получаемых при повторных измерениях одной и той же величины, выполняемых при различных условиях и режимах работы, растянутых на длительное время. Очевидно, что вследствие влияния систематических погрешностей воспроизводимость результата измерения обычно ниже, чем повторяемость.