Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1313 вуза, 5306 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Воронежский государственный технический университет
Предмет:
Электроника и схемотехника
Файл:

Электроника и схемотехника, учебное пособие, Щ.А.С., О.А.Г

..pdf
Скачиваний:
61
Добавлен:
13.10.2024
Размер:
17.78 Mб
Скачать
☆

451

 

 

 

 

 

z 1 e s1T или s

2

1

z 1

.

 

 

 

 

 

T

1

z 1

(9.68)

Таким образом, алгебраическое преобразование (9.68) отображает левую часть плоскости s на внешнюю относительно единичной окружности часть плоскости z 1 . Ошибки, вызываемые наложением, исключаются, так как на-

ложения здесь не происходит.

Передаточной функции придаѐтся z-форма путѐм простой подстановки выражения (9.68) в H (s) . Следовательно,

 

 

H (z)

H (s)

 

s

 

2 1 z 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T 1

z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(9.69)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эта особенность вызывает нелинейную деформацию частотной шкалы. В

этом можно убедиться, взяв в формуле (9.67) s1

j 1

 

 

и s

 

j . Тогда получим

 

T

tg

1T

 

.

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(9.70)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из-за этой деформации z-форма является наиболее пригодной для аппроксимации дискретным фильтром аналоговых фильтров, амплитудные характеристики которых могут быть разделены по частотной шкале на чередующиеся полосы пропускания и затухания с примерно постоянным усилением и затуханием в каждой полосе. Такая частотная характеристика является типичной для многих низкочастотных, полосовых и режекторных фильтров. Компенсация эффекта деформации может осуществляться путем предварительного искажения аналогового фильтра противоположным образом, так чтобы после применения билинейного z-преобразования критические частоты были сдвинуты назад к требуемым значениям.

В качестве простого примера использования билинейного z-преобразования с компенсацией деформации частотной шкалы рассмотрим дискретизацию фильтров .нижних час-

тот B n ( s ) типа Баттерворта. Квадрат модуля передаточной функции фильтров этого класса задается уравнением

 

 

 

2n

1

 

 

 

s

 

 

Bn (s) Bn

( s) 1 ( 1)n

 

 

 

 

 

,

(9.71)

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где 0 - частота среза. Дискретизация заключается просто в замене 0 ее предварительно

452

деформированным значением, определяемым из (9.70) следующим образом:

 

2

tg

0T

.

(9.72)

0

T

2

 

 

 

 

 

 

 

Далее, подставляя (9.67) и (9.72) в (9.71), найдем выражение для квадрата модуля передаточной функции требуемого цифрового фильтра:

 

 

 

 

2n

1

 

 

s1T

 

0T

 

 

B n (s) B n ( s) 1 ( 1)n th

/ tg

 

 

 

2

2

 

,

(9.73)

 

 

 

которое после подстановки s1 jнепосредственно дает

 

 

 

 

 

 

 

2n

1

 

 

 

 

 

T

 

0T

 

 

B n ( j )

 

2

1 tg

/ tg

 

 

 

 

 

 

 

.

(9.74)

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Передаточную функцию требуемого цифрового фильтра найдем, подставляя (9.68) вместе с (9.72) в (9.71),

 

 

 

 

 

 

n 1

z 1

 

0T

2n

 

 

[B

n (z

1

)]

1

1 ( 1)

/ tg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

(9.75)

 

 

1

z 1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где знак «+» означает, что сохраняются только те

п

корней полинома по

z

1

 

 

в знаменате-

ле, которые лежат за пределами единичной окружности. (Другие п корней располагаются геометрически симметрично относительно единичной окружности внутри неѐ).

Возвращаясь к билинейному z-преобразованию, мы видим, что если амплитудночастотные характеристики не являются кусочно-постоянными в большей части частотного интервала Найквиста, то деформация частоты при методе билинейного z-преобразования не дает удовлетворительного метода расчета фильтров. Это непосредственно видно для

широкополосного дифференцирующего фильтра H(s)=s, если обратиться к выражению (9.70) и интерпретировать его как амплитудно-частотная характеристика этого фильтра.

Таким образом, билинейное z-преобразование имеет два основных преимущества. Вопервых, амплитудно-частотная характеристика аналогового фильтра переходит в характеристику цифрового фильтра с учѐтом деформации частотной шкалы, т. е. аналоговые фильтры с равноволновыми амплитудными характеристиками преобразуются в равноволновые дискретные фильтры, у которых необходимо только вычислить и скомпенсировать сдвиг по частоте положений максимумов и минимумов. Во-вторых, применение билинейного z-преобразования является алгебраическим по форме и поэтому может использоваться для рациональных передаточных функций аналогового фильтра как в полиномиальной

453

форме, так и в форме произведения.

Сравнивая билинейное z-преобразование и стандартное z-преобразование, приходим к выводу что оба метода приводят к дискретным передаточным функциям, рациональным

по z 1 и имеющим один и тот же порядок, равный порядку аналогового фильтра. Когда отношение модулей полюсов аналогового фильтра к частоте дискретизации достигает нуля, то, как и можно было предполагать, два метода дают одинаковые результаты. Для получения широкополосных фильтров при использовании стандартного z-преобразования обычно должны применяться защитные фильтры, которые приводят к увеличению порядка цифрового фильтра. Для получения широкополосных фильтров с применением билинейного z-преобразования вместо этого должна быть скомпенсирована частотная деформация. Хотя и нет необходимости в увеличении порядка фильтра, применение этого метода ограничено фильтрами с кусочно-постоянными амплитудными характеристиками.

Для того чтобы проиллюстрировать полученные соотношения, положим для аналогового фильтра H (s) вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H (s)

 

1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

(9.76)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

(s

a)

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда можно представить A(s)

1 , D(s)

s

(s

a) , s1

 

0 , s2

a и

 

 

 

 

 

2

A(sn )

 

 

1

 

 

1

 

 

 

1

 

1

 

 

 

1

 

H (s)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1 D (sn )

1 e

T ( s s )

d

 

 

1 e

Ts

 

 

d

 

1 e

T ( s a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

[s (s a)]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[s (s a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ds

 

 

 

 

 

 

ds

 

 

 

 

1

 

 

z

 

z

 

z

 

1

e aT

a

 

z

1

z e aT

 

a

 

z

e aT

Отсюда

1

 

.

(9.77)

 

 

z 1

z eTs

 

L 1[H (s)]

 

 

1

(1 e aT )

 

1

 

e anT

.

(9.78)

t

nT

 

t nT

 

 

 

a

 

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

H (z)

1

 

e anT

z

n

1 z

1

 

z

 

z 1 e aT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a

 

a z 1 a z e aT

 

a z e aT

n 0

 

 

 

 

1

 

.

(9.79)

 

 

z

1

 

Для того чтобы показать, что H (s) эквивалентно выражению, определяемому формулой (9.61), разложим следующую функцию на элементарные дроби:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

454

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

1

 

 

1

 

K1

 

 

K2

 

 

K2/

...

1

 

 

 

 

 

 

a 1 e Ts

 

a 1 e T (s a)

 

s

 

 

 

s j s

 

s j s

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ka

 

 

 

 

 

Kb

 

 

Kb/

 

 

 

 

 

Kc

 

 

 

Kc/

...

1

, (9.80)

 

s

 

a

 

 

(s

 

a) j s

 

(s

a)

j s

 

 

(s a)

 

2 / s

 

(s a) 2 j s

2a

где

 

 

 

2

 

. Коэффициенты

K1 ,

K 2 ,…, K a ,

K b ,… могут быть получены следующим об-

s

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

разом:

K1

1

 

 

 

1

 

s 0

1

,

 

 

 

 

a

 

 

d

 

 

aT

 

 

 

(1 e Ts )

 

 

 

 

 

 

 

ds

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K 2

1

 

 

 

1

 

 

s 0 j

 

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

s

 

 

a

 

 

(1

e Ts )

 

 

aT

 

 

 

 

ds

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Аналогично

K a

 

1

 

 

 

1

 

 

 

s

a

 

1

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

d

 

 

 

 

 

aT

 

 

 

 

 

 

(1 e T ( s a) )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ds

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Kb

1

 

 

 

 

 

 

1

 

s

 

a

j

 

 

1

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

d (1 e T ( s a) )

 

 

s

 

aT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ds

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(9.81)

(9.82)

(9.83)

(9.84)

Следовательно, выражение (9.80) может быть записано в виде

1

 

 

z

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

z

1

 

 

z e aT

 

z eTs

 

 

 

 

1

 

 

1

 

1

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aT

 

s s a

 

s j s

 

s a j s

1

1

 

...

 

 

 

 

s j s

 

s a j

 

 

s

1

 

a

 

a

 

 

a

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aT s(s a)

 

(s j s )(s a j s )

 

(s j

s )(s a j

s )

455

1

T

k

 

H (s jk s ) .

(9.85)

k

Таким образом, соотношения, определяемые уравнениями (9.77), (9.79) и (9.85), идентичны и приводят к одним и тем же результатам для z-преобразования функции H (s) .

9.8. Использование z-преобразования для расчѐтов релаксационных генераторов

Для релаксационных генераторов на негатронах (РГН) нельзя использовать метод малого параметра для расчѐтов. Если фиксировать значения переменных состояния в течение коротких промежутков времени, разделѐнных периодом дискретизации Т, то установившиеся автоколебания будут соответствовать случаю, когда через равные промежутки времени мгновенные значения переменных состояния будут одинаковыми. Это является основой для применения z-преобразования для расчѐтов РГН. Это напоминает стробоскопический метод расчѐта автоколебательных систем.

Предложенный метод расчѐта наиболее просто реализуется с помощью импульс-

ных функций, описываемых с помощью z–преобразования [19]. Для того, чтобы можно было определить переходный промесс в импульсное системе в любой момент времени, используется модифицированное z –преобразование.

9.8.1. Связь динамической дискретной системы с z-преобразованием

Рассматривая линейную часть релаксационной автоколебательной системы стационарной, а нелинейную часть переменной во времени, запишем следующую систему разностных уравнений:

X (i 1)

A X (i) B U (i) ,

 

 

Y (i)

D X (i) ,

(9.86)

где X (i) - вектор состояния системы;

U (i)

и Y (i) - входной и выходной векторы системы,

соответственно; А, В и D – постоянные матрицы соответствующих размерностей.

Установившееся значение выходной координаты в дискретные моменты времени обозначим как

Y0 D X 0 ,

где Y0 - заданный постоянный выходной вектор системы.

Из выражений (9.86) следует, что X 0 A X 0 B U 0 .

 

 

 

 

456

 

 

 

Определим смещѐнное входное воздействие U (i) , смещѐнное состояние X (i)

и век-

тор смещѐнного управления Y (i) как

 

 

 

 

 

U (i) U (i)

U 0 ,

X (i)

X (i)

U 0 , Y (i)

Y (i) Y0 .

(9.87)

Подставляя выражения (9.87) в разностные уравнения (9.86), получим

 

X (i 1)

A X (i) B U (i) ,

 

 

 

Y (i)

D X (i) ,

 

 

(9.88)

Закон управления

 

 

 

 

 

 

 

U (i)

 

F X (i)

 

 

(9.89)

определяется путѐм минимизации критерия оптимальности

 

 

Y T (i

1)

R

Y (i

1)

U T (i) R

U (i) ,

(9.90)

 

 

1

 

 

2

 

 

i i0

где F , R1 и R2 - постоянные матрицы установившихся коэффициентов соответствующих размерностей.

При законе управления, описываемого выражением (9.89), Система (9.88) принимает

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X (i

1) A

X (i) ,

 

 

 

Y (i) D

X (i) ,

(9.91)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где A A B F .

 

 

 

 

 

(9.92)

Матричная передаточная функция замкнутой системы H З (z) имеет вид

 

 

 

 

 

 

(9.93)

 

 

H З (z)

D (z

I

A

) 1 B ,

где I – единичная матрица.

 

 

 

 

 

 

В случае асимптотически устойчивой системы выходной вектор Y (i) будет на бесконечности стремиться к постоянному значению

lim Y (i) H

З (1) U0 .

i

 

Последняя формула показывает, что установившаяся ошибка определяется, если U 0

выбрано как U

0

H

1 (1) Y

 

З

0

457

Отсюда найдѐм оптимальный закон управления

U (i) F X (i) H

1

(1) Y (i) .

(9.94)

 

З

 

 

Характеристические значения замкнутой системы (9.92) могут быть произвольно размещены на комплексной плоскости посредством соответствующего выбора в том случае, если система (9.86) полностью управляемая. Если система (9.86) стабилизируемая, то можно выбрать так F , что система станет устойчивой. Когда все характеристические значения замкнутой системы находятся в начале координат, тогда характеристический полином матрицы (9.92) имеет вид

З

(z) det(z I A B F ) z n .

(9.95)

 

 

где n - размерность системы.

Согласно теореме Кэли-Гамильтона [14], каждая квадратная матрица удовлетворяет собственному характеристическому уравнению, то

( A B F )n 0 .

(9.96)

Из теории матриц [14] следует, что матрица (9.96) является нильпотентной с индексом n . Состояние системы в момент i представимо в виде

X (i) ( A B F )i X (0) .

Отсюда следует, что если удовлетворяется (9.96), то при любом начальном состоянии X (0) систему можно привести к заданному состоянию X 0 не позднее, чем за n периодов

квантования. В таком случае говорят, что вырожденная автоколебательная система обнаруживает апериодическую реакцию.

Реализация закона (9.94) определяется существованием обратной матрицы H З 1 (1) . Представим матрицу H З (z) в виде

det H З (z)

( я)

,

(9.97)

З (z)

 

 

 

где (z) и З (z) - числитель и знаменатель передаточной функции замкнутой системы, представленной дробно-рациональной функцией.

Найдѐм матрицу оптимальной системы W , удовлетворяющую дискретному принципу максимума Л.С.Понтрягина

W R 1 BT

( AT ) 1[P(i)

DT R D] ,

(9.98)

2

 

1

 

где P(i) - установившееся решение уравнения Риккати

458

P(i) DT R D

AT [P 1 (i 1) B R 1 BT ] 1

A .

(9.99)

1

2

 

 

Матрица обратной связи W является единственной для заданных весовых матриц R1 и R2 . Если система (9.86) удовлетворяет условиям управляемости [17], тогда система является стабильной, если управление оптимально, т. е. собственные значения матрицы (9.92) располагаются внутри единичного круга. Однако в оптимальных системах не всегда обеспечивается заданная степень стабильности.

Для динамической дискретной системы (9.88), удовлетворяющей критерию оптимальности (9.90), вектор сопряжѐнных состояний можно записать в виде

P(i) DT R1 D X (i) AT p(i 1) .

(9.100)

Оптимальное управление подчиняется линейному закону [17]

U (i) R2 1 BT p(i 1) .

(9.101)

На основе уравнений (9.88), (9.89) и (9,101) получим каноническую матричную форму

X (i 1)

 

 

 

A

B R

1 BT

X (i)

 

 

 

 

 

 

2

p(i 1) .

(9.102)

p(i)

 

 

DT R D

AT

 

 

 

 

1

 

 

 

 

Применяя оператор сдвига к канонической системе (9.102), получим

 

 

 

 

 

z I

B R 1 BT z

X (i)

 

 

 

 

 

 

 

2

p(i) .

(9.103)

 

 

 

 

DT R D

I

AT z

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Собственные значения z j , j

1, n системы (9.103) находятся как корни характеристи-

ческого уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z I

B R

1 BT z

 

 

 

det

 

 

2

0 .

(9.104)

 

 

DT R D

I

AT z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

Рассмотрим асимптотические свойства установившихся законов управления с постоянной настройкой. Для этого введѐм дополнения: 1) в критерий (9.90) весовую матрицу R2 заменим на N ; 2) разделим правые блоки-столбцы матрицы (9.104) на z . В результате получим

det

z I

B R

2

1 BT

0 .

(9.105)

 

 

 

DT R D

I z 1

 

AT

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

459

Ненулевые характеристические значения замкнутой системы являются теперь корнями уравнения (9.105), которые по модулю меньше единицы.

Используя известные формулы преобразования определителей матриц [14], можно формулу (9.105) привести к виду

 

(z) (z 1 ) det I

1

H T (z 1 ) R H (z)

,

(9.106)

 

 

 

 

 

 

N

1

 

 

 

 

 

 

 

где

(z) det(zI A) - характеристический полином разомкнутой системы;

 

H (z)

D (zI A) 1 B - матричная передаточная функция разомкнутой системы.

 

Теперь определим оптимальную структуру автоколебательной системы, исходя из выражения ((9.109), рассматривая случай, когда 0 . Данный случай соответствует отсутствию ограничений на изменение управляющего воздействия

9.8.2. Структурный синтез динамической дискретной системы

Чтобы изучить поведение характеристических значений разомкнутой системы, рассмотрим сначала случай скалярных входной и выходной переменных этой системы. Предположим, что скалярная передаточная функция имеет следующий вид:

 

 

 

 

 

H (z)

 

 

 

(z)

,

 

 

 

 

 

(9.107)

 

 

 

 

 

 

 

(z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

где (z) z n q (z

i ) , i

0 , i

 

1, q ;

(z)

z s p

(z

 

i ) , i 0 , i 1, q .

(9.108)

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

Для случая R1

1 и N

1 выражение (9.106) принимает вид

 

 

q

 

1

 

 

 

2

p

 

 

1

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

i .

(9.109)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

z

 

i

 

 

 

 

i

z

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

Чтобы использовать для анализа метод корневого годографа [20], приведѐм выражение (9.109) к виду, удобному для рассмотрения. В случае системы со скалярными входной и выходной переменными можно заметить, что передаточная функция от заданной точки z0 (i) до управляемой переменной z(i) определяется выражением

T (z)

H З (z)

,

(9.110)

H З (1)

где H З (z) - передаточная функция замкнутой системы, определяемая по формуле (9.97). Характеристический полином замкнутой системы З (z) при 0 имеет вид

460

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

З (z) z n

p

z

i

,

 

0 .

 

(9.111)

 

 

i

1

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя полученные выражения в формулу (9.107) при

 

0 , найдѐм передаточ-

ную функцию вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

z

 

p

1

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T (z) z s n

 

 

i

 

 

 

 

 

.

(9.112)

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

z

 

 

1 1

 

 

 

 

i 1

 

i

j

j

 

 

Теперь, когда передаточная функция не имеет нулей вне единичного круга, передаточная функция предельной системы управления сводится к выражению

T (z) z s n .

(9.113)

0

 

Полученное выражение представляет собой чистое запаздывание, т. е. управляемая переменная и заданная переменная связаны между собой следующим образом:

z(i) z0 [i (n s)] .

(9.114)

9.8.3. Обобщѐнный синтез релаксационных автоколебательных систем

Используем полученные выражения для синтеза автоколебательных систем, линейной частью которых будет апериодическое звено первого порядка

k G1 (s) s a ,

где k и a - параметры звена первого порядка.

Переходя к z–преобразованию, получим

G1

(z)

 

kz

,

(9.115)

 

 

z

exp( aT )

 

 

 

 

где Т – период квантования.

Ошибка системы при подаче на вход ступенчатой функции определяется выражением

We

(z)

E(z)

1

,

(9.116)

 

 

 

U (z)

1 D(z) G1 (z)

 

 

 

 

где U (z) и E(z) - z–преобразование входного сигнала и ошибки, соответственно;

D(z) -

передаточная функция негатрона типа S; We (z) - импульсная передаточная функция ошибки.

Импульсная передаточная функция замкнутой системы имеет вид

Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности